15x^2+4x-4=0 lösen

$$15 { x }^{ 2 } +4x-4=0$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=\frac{2}{5}=0,4$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 15x^{2}+ax+bx-4 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=4 ab=15\left(-4\right)=-60$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -60 ergeben.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 4 ergibt.

$$a=-6 b=10$$

15x^{2}+4x-4 als \left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right) umschreiben.

$$\left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(5x-2\right)+2\left(5x-2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 5x-2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(5x-2\right)\left(3x+2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 5x-2=0 und 3x+2=0.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 15, b durch 4 und c durch -4, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 15.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie -60 mit -4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 15}$$

Addieren Sie 16 zu 240.

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 15}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 256.

$$x=\frac{-4±16}{2\times 15}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 15.

$$x=\frac{-4±16}{30}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±16}{30}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -4 zu 16.

$$x=\frac{12}{30}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{12}{30} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{2}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±16}{30}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 16 von -4.

$$x=-\frac{20}{30}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-20}{30} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Addieren Sie 4 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$15x^{2}+4x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Die Subtraktion von -4 von sich selbst ergibt 0.

$$15x^{2}+4x=-\left(-4\right)$$

Subtrahieren Sie -4 von 0.

$$15x^{2}+4x=4$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 15.

$$\frac{15x^{2}+4x}{15}=\frac{4}{15}$$

Division durch 15 macht die Multiplikation mit 15 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x=\frac{4}{15}$$

Dividieren Sie \frac{4}{15}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{2}{15} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{2}{15} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{2}{15}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{4}{15}+\frac{4}{225}$$

Addieren Sie \frac{4}{15} zu \frac{4}{225}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{64}{225}$$

Faktor x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{64}{225}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{225}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{2}{15}=\frac{8}{15} x+\frac{2}{15}=-\frac{8}{15}$$

\frac{2}{15} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$