14x^2+3x-2=0 lösen

$$14 x ^ { 2 } + 3 x - 2 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=\frac{2}{7}\approx 0,285714286$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 14x^{2}+ax+bx-2 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=3 ab=14\left(-2\right)=-28$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -28 ergeben.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 3 ergibt.

$$a=-4 b=7$$

14x^{2}+3x-2 als \left(14x^{2}-4x\right)+\left(7x-2\right) umschreiben.

$$\left(14x^{2}-4x\right)+\left(7x-2\right)$$

Klammern Sie 2x in 14x^{2}-4x aus.

$$2x\left(7x-2\right)+7x-2$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 7x-2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(7x-2\right)\left(2x+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 7x-2=0 und 2x+1=0.

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$14x^{2}+3x-2=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 14, b durch 3 und c durch -2, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 14\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

3 zum Quadrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 14\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 14.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-56\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

Multiplizieren Sie -56 mit -2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+112}}{2\times 14}$$

Addieren Sie 9 zu 112.

$$x=\frac{-3±\sqrt{121}}{2\times 14}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 121.

$$x=\frac{-3±11}{2\times 14}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 14.

$$x=\frac{-3±11}{28}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±11}{28}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -3 zu 11.

$$x=\frac{8}{28}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{8}{28} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{2}{7}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±11}{28}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 11 von -3.

$$x=-\frac{14}{28}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-14}{28} um den niedrigsten Term, indem Sie 14 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$14x^{2}+3x-2=0$$

Addieren Sie 2 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$14x^{2}+3x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Die Subtraktion von -2 von sich selbst ergibt 0.

$$14x^{2}+3x=-\left(-2\right)$$

Subtrahieren Sie -2 von 0.

$$14x^{2}+3x=2$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 14.

$$\frac{14x^{2}+3x}{14}=\frac{2}{14}$$

Division durch 14 macht die Multiplikation mit 14 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x=\frac{2}{14}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{2}{14} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x=\frac{1}{7}$$

Dividieren Sie \frac{3}{14}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{3}{28} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{3}{28} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\left(\frac{3}{28}\right)^{2}=\frac{1}{7}+\left(\frac{3}{28}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{3}{28}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=\frac{1}{7}+\frac{9}{784}$$

Addieren Sie \frac{1}{7} zu \frac{9}{784}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=\frac{121}{784}$$

Faktor x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{3}{28}\right)^{2}=\frac{121}{784}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{784}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{3}{28}=\frac{11}{28} x+\frac{3}{28}=-\frac{11}{28}$$

\frac{3}{28} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$