14x^2+2x=3 lösen

$$14 x ^ { 2 } + 2 x = 3$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{43}-1}{14}\approx 0,396959895$$

$$x=\frac{-\sqrt{43}-1}{14}\approx -0,539817037$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$14x^{2}+2x=3$$

3 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$14x^{2}+2x-3=3-3$$

Die Subtraktion von 3 von sich selbst ergibt 0.

$$14x^{2}+2x-3=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 14, b durch 2 und c durch -3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 14\left(-3\right)}}{2\times 14}$$

2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 14\left(-3\right)}}{2\times 14}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 14.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-56\left(-3\right)}}{2\times 14}$$

Multiplizieren Sie -56 mit -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+168}}{2\times 14}$$

Addieren Sie 4 zu 168.

$$x=\frac{-2±\sqrt{172}}{2\times 14}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 172.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{43}}{2\times 14}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 14.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{43}}{28}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±2\sqrt{43}}{28}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -2 zu 2\sqrt{43}.

$$x=\frac{2\sqrt{43}-2}{28}$$

Dividieren Sie -2+2\sqrt{43} durch 28.

$$x=\frac{\sqrt{43}-1}{14}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±2\sqrt{43}}{28}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{43} von -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{43}-2}{28}$$

Dividieren Sie -2-2\sqrt{43} durch 28.

$$x=\frac{-\sqrt{43}-1}{14}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{43}-1}{14} x=\frac{-\sqrt{43}-1}{14}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$14x^{2}+2x=3$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 14.

$$\frac{14x^{2}+2x}{14}=\frac{3}{14}$$

Division durch 14 macht die Multiplikation mit 14 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{2}{14}x=\frac{3}{14}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{2}{14} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{1}{7}x=\frac{3}{14}$$

Dividieren Sie \frac{1}{7}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{14} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{14} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{7}x+\left(\frac{1}{14}\right)^{2}=\frac{3}{14}+\left(\frac{1}{14}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{14}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{1}{7}x+\frac{1}{196}=\frac{3}{14}+\frac{1}{196}$$

Addieren Sie \frac{3}{14} zu \frac{1}{196}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{1}{7}x+\frac{1}{196}=\frac{43}{196}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{7}x+\frac{1}{196}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{1}{14}\right)^{2}=\frac{43}{196}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43}{196}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{1}{14}=\frac{\sqrt{43}}{14} x+\frac{1}{14}=-\frac{\sqrt{43}}{14}$$

\frac{1}{14} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{43}-1}{14} x=\frac{-\sqrt{43}-1}{14}$$