14x^2-29x-15=0 lösen

$$14 { x }^{ 2 } -29x-15 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0,428571429$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 14x^{2}+ax+bx-15 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-29 ab=14\left(-15\right)=-210$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -210 ergeben.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -29 ergibt.

$$a=-35 b=6$$

14x^{2}-29x-15 als \left(14x^{2}-35x\right)+\left(6x-15\right) umschreiben.

$$\left(14x^{2}-35x\right)+\left(6x-15\right)$$

Klammern Sie 7x in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$7x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x-5\right)\left(7x+3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 2x-5=0 und 7x+3=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$14x^{2}-29x-15=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 14, b durch -29 und c durch -15, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 14\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

-29 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 14\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 14.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-56\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

Multiplizieren Sie -56 mit -15.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 14}$$

Addieren Sie 841 zu 840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 14}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1681.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 14}$$

Das Gegenteil von -29 ist 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 14}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 14.

$$x=\frac{29±41}{28}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{29±41}{28}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 29 zu 41.

$$x=\frac{70}{28}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{70}{28} um den niedrigsten Term, indem Sie 14 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{5}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{29±41}{28}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 41 von 29.

$$x=-\frac{12}{28}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-12}{28} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{3}{7}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$14x^{2}-29x-15=0$$

Addieren Sie 15 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$14x^{2}-29x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Die Subtraktion von -15 von sich selbst ergibt 0.

$$14x^{2}-29x=-\left(-15\right)$$

Subtrahieren Sie -15 von 0.

$$14x^{2}-29x=15$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 14.

$$\frac{14x^{2}-29x}{14}=\frac{15}{14}$$

Division durch 14 macht die Multiplikation mit 14 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x=\frac{15}{14}$$

Dividieren Sie -\frac{29}{14}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{29}{28} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{29}{28} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\left(-\frac{29}{28}\right)^{2}=\frac{15}{14}+\left(-\frac{29}{28}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{29}{28}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}=\frac{15}{14}+\frac{841}{784}$$

Addieren Sie \frac{15}{14} zu \frac{841}{784}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}=\frac{1681}{784}$$

Faktor x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{29}{28}\right)^{2}=\frac{1681}{784}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{784}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{29}{28}=\frac{41}{28} x-\frac{29}{28}=-\frac{41}{28}$$

Addieren Sie \frac{29}{28} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$