13x^2-5x-20=0 lösen

$$13 x ^ { 2 } - 5 x - 20 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{1065} + 5}{26} \approx 1,447474529$$

$$x=\frac{5-\sqrt{1065}}{26}\approx -1,062859144$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$13x^{2}-5x-20=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 13, b durch -5 und c durch -20, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 13\left(-20\right)}}{2\times 13}$$

-5 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 13\left(-20\right)}}{2\times 13}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 13.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-52\left(-20\right)}}{2\times 13}$$

Multiplizieren Sie -52 mit -20.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+1040}}{2\times 13}$$

Addieren Sie 25 zu 1040.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{1065}}{2\times 13}$$

Das Gegenteil von -5 ist 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{1065}}{2\times 13}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 13.

$$x=\frac{5±\sqrt{1065}}{26}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±\sqrt{1065}}{26}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 5 zu \sqrt{1065}.

$$x=\frac{\sqrt{1065}+5}{26}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±\sqrt{1065}}{26}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{1065} von 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{1065}}{26}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{1065}+5}{26} x=\frac{5-\sqrt{1065}}{26}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$13x^{2}-5x-20=0$$

Addieren Sie 20 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$13x^{2}-5x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

Die Subtraktion von -20 von sich selbst ergibt 0.

$$13x^{2}-5x=-\left(-20\right)$$

Subtrahieren Sie -20 von 0.

$$13x^{2}-5x=20$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 13.

$$\frac{13x^{2}-5x}{13}=\frac{20}{13}$$

Division durch 13 macht die Multiplikation mit 13 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{5}{13}x=\frac{20}{13}$$

Dividieren Sie -\frac{5}{13}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{26} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{26} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{13}x+\left(-\frac{5}{26}\right)^{2}=\frac{20}{13}+\left(-\frac{5}{26}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{26}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{5}{13}x+\frac{25}{676}=\frac{20}{13}+\frac{25}{676}$$

Addieren Sie \frac{20}{13} zu \frac{25}{676}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{5}{13}x+\frac{25}{676}=\frac{1065}{676}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{13}x+\frac{25}{676}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{5}{26}\right)^{2}=\frac{1065}{676}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1065}{676}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{5}{26}=\frac{\sqrt{1065}}{26} x-\frac{5}{26}=-\frac{\sqrt{1065}}{26}$$

Addieren Sie \frac{5}{26} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{1065}+5}{26} x=\frac{5-\sqrt{1065}}{26}$$