13x^2-5x+4=0 lösen

$$13 x ^ { 2 } - 5 x + 4 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{5+\sqrt{183}i}{26}\approx 0,192307692+0,520298048i$$

$$x=\frac{-\sqrt{183}i+5}{26}\approx 0,192307692-0,520298048i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$13x^{2}-5x+4=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 13, b durch -5 und c durch 4, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 13\times 4}}{2\times 13}$$

-5 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 13\times 4}}{2\times 13}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 13.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-52\times 4}}{2\times 13}$$

Multiplizieren Sie -52 mit 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-208}}{2\times 13}$$

Addieren Sie 25 zu -208.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-183}}{2\times 13}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -183.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{183}i}{2\times 13}$$

Das Gegenteil von -5 ist 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{183}i}{2\times 13}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 13.

$$x=\frac{5±\sqrt{183}i}{26}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±\sqrt{183}i}{26}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 5 zu i\sqrt{183}.

$$x=\frac{5+\sqrt{183}i}{26}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±\sqrt{183}i}{26}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{183} von 5.

$$x=\frac{-\sqrt{183}i+5}{26}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{5+\sqrt{183}i}{26} x=\frac{-\sqrt{183}i+5}{26}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$13x^{2}-5x+4=0$$

4 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$13x^{2}-5x+4-4=-4$$

Die Subtraktion von 4 von sich selbst ergibt 0.

$$13x^{2}-5x=-4$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 13.

$$\frac{13x^{2}-5x}{13}=-\frac{4}{13}$$

Division durch 13 macht die Multiplikation mit 13 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{5}{13}x=-\frac{4}{13}$$

Dividieren Sie -\frac{5}{13}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{26} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{26} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{13}x+\left(-\frac{5}{26}\right)^{2}=-\frac{4}{13}+\left(-\frac{5}{26}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{26}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{5}{13}x+\frac{25}{676}=-\frac{4}{13}+\frac{25}{676}$$

Addieren Sie -\frac{4}{13} zu \frac{25}{676}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{5}{13}x+\frac{25}{676}=-\frac{183}{676}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{13}x+\frac{25}{676}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{5}{26}\right)^{2}=-\frac{183}{676}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{26}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{183}{676}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{5}{26}=\frac{\sqrt{183}i}{26} x-\frac{5}{26}=-\frac{\sqrt{183}i}{26}$$

Addieren Sie \frac{5}{26} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{5+\sqrt{183}i}{26} x=\frac{-\sqrt{183}i+5}{26}$$