13x=x^2+30 lösen

$$13 x = x ^ { 2 } + 30$$

Nach x auflösen

$$x=3$$

$$x=10$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$13x-x^{2}=30$$

Subtrahieren Sie 30 von beiden Seiten.

$$13x-x^{2}-30=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$-x^{2}+13x-30=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -x^{2}+ax+bx-30 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=13 ab=-\left(-30\right)=30$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 30 ergeben.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 13 ergibt.

$$a=10 b=3$$

-x^{2}+13x-30 als \left(-x^{2}+10x\right)+\left(3x-30\right) umschreiben.

$$\left(-x^{2}+10x\right)+\left(3x-30\right)$$

Klammern Sie -x in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$-x\left(x-10\right)+3\left(x-10\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-10 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-10\right)\left(-x+3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-10=0 und -x+3=0.

$$x=10 x=3$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$13x-x^{2}=30$$

Subtrahieren Sie 30 von beiden Seiten.

$$13x-x^{2}-30=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-x^{2}+13x-30=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -1, b durch 13 und c durch -30, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-1\right)\left(-30\right)}}{2\left(-1\right)}$$

13 zum Quadrat.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-1\right)\left(-30\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -1.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+4\left(-30\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 4 mit -30.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-120}}{2\left(-1\right)}$$

Addieren Sie 169 zu -120.

$$x=\frac{-13±\sqrt{49}}{2\left(-1\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 49.

$$x=\frac{-13±7}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -1.

$$x=\frac{-13±7}{-2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-13±7}{-2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -13 zu 7.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

Dividieren Sie -6 durch -2.

$$x=3$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-13±7}{-2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 7 von -13.

$$x=-\frac{20}{-2}$$

Dividieren Sie -20 durch -2.

$$x=10$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=3 x=10$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$13x-x^{2}=30$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-x^{2}+13x=30$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -1.

$$\frac{-x^{2}+13x}{-1}=\frac{30}{-1}$$

Division durch -1 macht die Multiplikation mit -1 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{13}{-1}x=\frac{30}{-1}$$

Dividieren Sie 13 durch -1.

$$x^{2}-13x=\frac{30}{-1}$$

Dividieren Sie 30 durch -1.

$$x^{2}-13x=-30$$

Dividieren Sie -13, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{13}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{13}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-30+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{13}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-30+\frac{169}{4}$$

Addieren Sie -30 zu \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{49}{4}$$

Faktor x^{2}-13x+\frac{169}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{7}{2}$$

Addieren Sie \frac{13}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=10 x=3$$