13x^2+40x-22400=0 lösen

$$13 { x }^{ 2 } +40x-22400=0$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{560}{13} = -43\frac{1}{13} \approx -43,076923077$$

$$x=40$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 13x^{2}+ax+bx-22400 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=40 ab=13\left(-22400\right)=-291200$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -291200 ergeben.

$$-1,291200 -2,145600 -4,72800 -5,58240 -7,41600 -8,36400 -10,29120 -13,22400 -14,20800 -16,18200 -20,14560 -25,11648 -26,11200 -28,10400 -32,9100 -35,8320 -40,7280 -50,5824 -52,5600 -56,5200 -64,4550 -65,4480 -70,4160 -80,3640 -91,3200 -100,2912 -104,2800 -112,2600 -128,2275 -130,2240 -140,2080 -160,1820 -175,1664 -182,1600 -200,1456 -208,1400 -224,1300 -260,1120 -280,1040 -320,910 -325,896 -350,832 -364,800 -400,728 -416,700 -448,650 -455,640 -520,560$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+291200=291199 -2+145600=145598 -4+72800=72796 -5+58240=58235 -7+41600=41593 -8+36400=36392 -10+29120=29110 -13+22400=22387 -14+20800=20786 -16+18200=18184 -20+14560=14540 -25+11648=11623 -26+11200=11174 -28+10400=10372 -32+9100=9068 -35+8320=8285 -40+7280=7240 -50+5824=5774 -52+5600=5548 -56+5200=5144 -64+4550=4486 -65+4480=4415 -70+4160=4090 -80+3640=3560 -91+3200=3109 -100+2912=2812 -104+2800=2696 -112+2600=2488 -128+2275=2147 -130+2240=2110 -140+2080=1940 -160+1820=1660 -175+1664=1489 -182+1600=1418 -200+1456=1256 -208+1400=1192 -224+1300=1076 -260+1120=860 -280+1040=760 -320+910=590 -325+896=571 -350+832=482 -364+800=436 -400+728=328 -416+700=284 -448+650=202 -455+640=185 -520+560=40$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 40 ergibt.

$$a=-520 b=560$$

13x^{2}+40x-22400 als \left(13x^{2}-520x\right)+\left(560x-22400\right) umschreiben.

$$\left(13x^{2}-520x\right)+\left(560x-22400\right)$$

Klammern Sie 13x in der ersten und 560 in der zweiten Gruppe aus.

$$13x\left(x-40\right)+560\left(x-40\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-40 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-40\right)\left(13x+560\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-40=0 und 13x+560=0.

$$x=40 x=-\frac{560}{13}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$13x^{2}+40x-22400=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 13, b durch 40 und c durch -22400, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-40±\sqrt{40^{2}-4\times 13\left(-22400\right)}}{2\times 13}$$

40 zum Quadrat.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600-4\times 13\left(-22400\right)}}{2\times 13}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 13.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600-52\left(-22400\right)}}{2\times 13}$$

Multiplizieren Sie -52 mit -22400.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600+1164800}}{2\times 13}$$

Addieren Sie 1600 zu 1164800.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1166400}}{2\times 13}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1166400.

$$x=\frac{-40±1080}{2\times 13}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 13.

$$x=\frac{-40±1080}{26}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-40±1080}{26}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -40 zu 1080.

$$x=\frac{1040}{26}$$

Dividieren Sie 1040 durch 26.

$$x=40$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-40±1080}{26}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 1080 von -40.

$$x=-\frac{1120}{26}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-1120}{26} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{560}{13}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=40 x=-\frac{560}{13}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$13x^{2}+40x-22400=0$$

Addieren Sie 22400 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$13x^{2}+40x-22400-\left(-22400\right)=-\left(-22400\right)$$

Die Subtraktion von -22400 von sich selbst ergibt 0.

$$13x^{2}+40x=-\left(-22400\right)$$

Subtrahieren Sie -22400 von 0.

$$13x^{2}+40x=22400$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 13.

$$\frac{13x^{2}+40x}{13}=\frac{22400}{13}$$

Division durch 13 macht die Multiplikation mit 13 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{40}{13}x=\frac{22400}{13}$$

Dividieren Sie \frac{40}{13}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{20}{13} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{20}{13} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{40}{13}x+\left(\frac{20}{13}\right)^{2}=\frac{22400}{13}+\left(\frac{20}{13}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{20}{13}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{40}{13}x+\frac{400}{169}=\frac{22400}{13}+\frac{400}{169}$$

Addieren Sie \frac{22400}{13} zu \frac{400}{169}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{40}{13}x+\frac{400}{169}=\frac{291600}{169}$$

Faktor x^{2}+\frac{40}{13}x+\frac{400}{169}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{20}{13}\right)^{2}=\frac{291600}{169}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{20}{13}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{291600}{169}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{20}{13}=\frac{540}{13} x+\frac{20}{13}=-\frac{540}{13}$$

\frac{20}{13} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=40 x=-\frac{560}{13}$$