125x^2-78*5x+36125=0 lösen

$$125 x ^ { 2 } - 78 \cdot 5 x + 36125 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{39+4\sqrt{11194}i}{25}\approx 1,56+16,92827221i$$

$$x=\frac{-4\sqrt{11194}i+39}{25}\approx 1,56-16,92827221i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$125x^{2}-390x+36125=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 125, b durch -390 und c durch 36125, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-390\right)±\sqrt{\left(-390\right)^{2}-4\times 125\times 36125}}{2\times 125}$$

-390 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-390\right)±\sqrt{152100-4\times 125\times 36125}}{2\times 125}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 125.

$$x=\frac{-\left(-390\right)±\sqrt{152100-500\times 36125}}{2\times 125}$$

Multiplizieren Sie -500 mit 36125.

$$x=\frac{-\left(-390\right)±\sqrt{152100-18062500}}{2\times 125}$$

Addieren Sie 152100 zu -18062500.

$$x=\frac{-\left(-390\right)±\sqrt{-17910400}}{2\times 125}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -17910400.

$$x=\frac{-\left(-390\right)±40\sqrt{11194}i}{2\times 125}$$

Das Gegenteil von -390 ist 390.

$$x=\frac{390±40\sqrt{11194}i}{2\times 125}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 125.

$$x=\frac{390±40\sqrt{11194}i}{250}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{390±40\sqrt{11194}i}{250}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 390 zu 40i\sqrt{11194}.

$$x=\frac{390+40\sqrt{11194}i}{250}$$

Dividieren Sie 390+40i\sqrt{11194} durch 250.

$$x=\frac{39+4\sqrt{11194}i}{25}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{390±40\sqrt{11194}i}{250}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 40i\sqrt{11194} von 390.

$$x=\frac{-40\sqrt{11194}i+390}{250}$$

Dividieren Sie 390-40i\sqrt{11194} durch 250.

$$x=\frac{-4\sqrt{11194}i+39}{25}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{39+4\sqrt{11194}i}{25} x=\frac{-4\sqrt{11194}i+39}{25}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$125x^{2}-390x+36125=0$$

36125 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$125x^{2}-390x+36125-36125=-36125$$

Die Subtraktion von 36125 von sich selbst ergibt 0.

$$125x^{2}-390x=-36125$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 125.

$$\frac{125x^{2}-390x}{125}=-\frac{36125}{125}$$

Division durch 125 macht die Multiplikation mit 125 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{390}{125}\right)x=-\frac{36125}{125}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-390}{125} um den niedrigsten Term, indem Sie 5 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{78}{25}x=-\frac{36125}{125}$$

Dividieren Sie -36125 durch 125.

$$x^{2}-\frac{78}{25}x=-289$$

Dividieren Sie -\frac{78}{25}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{39}{25} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{39}{25} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{78}{25}x+\left(-\frac{39}{25}\right)^{2}=-289+\left(-\frac{39}{25}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{39}{25}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{78}{25}x+\frac{1521}{625}=-289+\frac{1521}{625}$$

Addieren Sie -289 zu \frac{1521}{625}.

$$x^{2}-\frac{78}{25}x+\frac{1521}{625}=-\frac{179104}{625}$$

Faktor x^{2}-\frac{78}{25}x+\frac{1521}{625}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{39}{25}\right)^{2}=-\frac{179104}{625}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{39}{25}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{179104}{625}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{39}{25}=\frac{4\sqrt{11194}i}{25} x-\frac{39}{25}=-\frac{4\sqrt{11194}i}{25}$$

Addieren Sie \frac{39}{25} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{39+4\sqrt{11194}i}{25} x=\frac{-4\sqrt{11194}i+39}{25}$$