12345x^2+54321x-99999=0 lösen

$$12345 x ^ { 2 } + 54321 x - 99999 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{876524629} - 18107}{8230} \approx 1,397224621$$

$$x=\frac{-\sqrt{876524629}-18107}{8230}\approx -5,797467635$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$12345x^{2}+54321x-99999=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 12345, b durch 54321 und c durch -99999, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-54321±\sqrt{54321^{2}-4\times 12345\left(-99999\right)}}{2\times 12345}$$

54321 zum Quadrat.

$$x=\frac{-54321±\sqrt{2950771041-4\times 12345\left(-99999\right)}}{2\times 12345}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 12345.

$$x=\frac{-54321±\sqrt{2950771041-49380\left(-99999\right)}}{2\times 12345}$$

Multiplizieren Sie -49380 mit -99999.

$$x=\frac{-54321±\sqrt{2950771041+4937950620}}{2\times 12345}$$

Addieren Sie 2950771041 zu 4937950620.

$$x=\frac{-54321±\sqrt{7888721661}}{2\times 12345}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 7888721661.

$$x=\frac{-54321±3\sqrt{876524629}}{2\times 12345}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 12345.

$$x=\frac{-54321±3\sqrt{876524629}}{24690}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-54321±3\sqrt{876524629}}{24690}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -54321 zu 3\sqrt{876524629}.

$$x=\frac{3\sqrt{876524629}-54321}{24690}$$

Dividieren Sie -54321+3\sqrt{876524629} durch 24690.

$$x=\frac{\sqrt{876524629}-18107}{8230}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-54321±3\sqrt{876524629}}{24690}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 3\sqrt{876524629} von -54321.

$$x=\frac{-3\sqrt{876524629}-54321}{24690}$$

Dividieren Sie -54321-3\sqrt{876524629} durch 24690.

$$x=\frac{-\sqrt{876524629}-18107}{8230}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{876524629}-18107}{8230} x=\frac{-\sqrt{876524629}-18107}{8230}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$12345x^{2}+54321x-99999=0$$

Addieren Sie 99999 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$12345x^{2}+54321x-99999-\left(-99999\right)=-\left(-99999\right)$$

Die Subtraktion von -99999 von sich selbst ergibt 0.

$$12345x^{2}+54321x=-\left(-99999\right)$$

Subtrahieren Sie -99999 von 0.

$$12345x^{2}+54321x=99999$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 12345.

$$\frac{12345x^{2}+54321x}{12345}=\frac{99999}{12345}$$

Division durch 12345 macht die Multiplikation mit 12345 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{54321}{12345}x=\frac{99999}{12345}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{54321}{12345} um den niedrigsten Term, indem Sie 3 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x=\frac{99999}{12345}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{99999}{12345} um den niedrigsten Term, indem Sie 3 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x=\frac{33333}{4115}$$

Dividieren Sie \frac{18107}{4115}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{18107}{8230} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{18107}{8230} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x+\left(\frac{18107}{8230}\right)^{2}=\frac{33333}{4115}+\left(\frac{18107}{8230}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{18107}{8230}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x+\frac{327863449}{67732900}=\frac{33333}{4115}+\frac{327863449}{67732900}$$

Addieren Sie \frac{33333}{4115} zu \frac{327863449}{67732900}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{18107}{4115}x+\frac{327863449}{67732900}=\frac{876524629}{67732900}$$

Faktor x^{2}+\frac{18107}{4115}x+\frac{327863449}{67732900}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{18107}{8230}\right)^{2}=\frac{876524629}{67732900}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{18107}{8230}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{876524629}{67732900}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{18107}{8230}=\frac{\sqrt{876524629}}{8230} x+\frac{18107}{8230}=-\frac{\sqrt{876524629}}{8230}$$

\frac{18107}{8230} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{876524629}-18107}{8230} x=\frac{-\sqrt{876524629}-18107}{8230}$$