120x^2+8000x-92000=0 lösen

$$120 { x }^{ 2 } +8000x-92000=0$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{230}{3} = -76\frac{2}{3} \approx -76,666666667$$

$$x=10$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Dividieren Sie beide Seiten durch 40.

$$3x^{2}+200x-2300=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3x^{2}+ax+bx-2300 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=200 ab=3\left(-2300\right)=-6900$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -6900 ergeben.

$$-1,6900 -2,3450 -3,2300 -4,1725 -5,1380 -6,1150 -10,690 -12,575 -15,460 -20,345 -23,300 -25,276 -30,230 -46,150 -50,138 -60,115 -69,100 -75,92$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+6900=6899 -2+3450=3448 -3+2300=2297 -4+1725=1721 -5+1380=1375 -6+1150=1144 -10+690=680 -12+575=563 -15+460=445 -20+345=325 -23+300=277 -25+276=251 -30+230=200 -46+150=104 -50+138=88 -60+115=55 -69+100=31 -75+92=17$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 200 ergibt.

$$a=-30 b=230$$

3x^{2}+200x-2300 als \left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und 230 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(x-10\right)+230\left(x-10\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-10 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-10\right)\left(3x+230\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-10=0 und 3x+230=0.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 120, b durch 8000 und c durch -92000, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{8000^{2}-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

8000 zum Quadrat.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 120.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-480\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Multiplizieren Sie -480 mit -92000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000+44160000}}{2\times 120}$$

Addieren Sie 64000000 zu 44160000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{108160000}}{2\times 120}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 108160000.

$$x=\frac{-8000±10400}{2\times 120}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 120.

$$x=\frac{-8000±10400}{240}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-8000±10400}{240}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -8000 zu 10400.

$$x=\frac{2400}{240}$$

Dividieren Sie 2400 durch 240.

$$x=10$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-8000±10400}{240}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 10400 von -8000.

$$x=-\frac{18400}{240}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-18400}{240} um den niedrigsten Term, indem Sie 80 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{230}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Addieren Sie 92000 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$120x^{2}+8000x-92000-\left(-92000\right)=-\left(-92000\right)$$

Die Subtraktion von -92000 von sich selbst ergibt 0.

$$120x^{2}+8000x=-\left(-92000\right)$$

Subtrahieren Sie -92000 von 0.

$$120x^{2}+8000x=92000$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 120.

$$\frac{120x^{2}+8000x}{120}=\frac{92000}{120}$$

Division durch 120 macht die Multiplikation mit 120 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{8000}{120}x=\frac{92000}{120}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{8000}{120} um den niedrigsten Term, indem Sie 40 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{92000}{120}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{92000}{120} um den niedrigsten Term, indem Sie 40 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{2300}{3}$$

Dividieren Sie \frac{200}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{100}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{100}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{2300}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{100}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{2300}{3}+\frac{10000}{9}$$

Addieren Sie \frac{2300}{3} zu \frac{10000}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{16900}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{16900}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16900}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{130}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{130}{3}$$

\frac{100}{3} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$