12x^2-64x+67=0 lösen

$$12 x ^ { 2 } - 64 x + 67 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{55}}{6}+\frac{8}{3}\approx 3,902699748$$

$$x=-\frac{\sqrt{55}}{6}+\frac{8}{3}\approx 1,430633585$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$12x^{2}-64x+67=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 12, b durch -64 und c durch 67, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{\left(-64\right)^{2}-4\times 12\times 67}}{2\times 12}$$

-64 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-4\times 12\times 67}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 12.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-48\times 67}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -48 mit 67.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-3216}}{2\times 12}$$

Addieren Sie 4096 zu -3216.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{880}}{2\times 12}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 880.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±4\sqrt{55}}{2\times 12}$$

Das Gegenteil von -64 ist 64.

$$x=\frac{64±4\sqrt{55}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 12.

$$x=\frac{64±4\sqrt{55}}{24}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{64±4\sqrt{55}}{24}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 64 zu 4\sqrt{55}.

$$x=\frac{4\sqrt{55}+64}{24}$$

Dividieren Sie 64+4\sqrt{55} durch 24.

$$x=\frac{\sqrt{55}}{6}+\frac{8}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{64±4\sqrt{55}}{24}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4\sqrt{55} von 64.

$$x=\frac{64-4\sqrt{55}}{24}$$

Dividieren Sie 64-4\sqrt{55} durch 24.

$$x=-\frac{\sqrt{55}}{6}+\frac{8}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{55}}{6}+\frac{8}{3} x=-\frac{\sqrt{55}}{6}+\frac{8}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$12x^{2}-64x+67=0$$

67 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$12x^{2}-64x+67-67=-67$$

Die Subtraktion von 67 von sich selbst ergibt 0.

$$12x^{2}-64x=-67$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 12.

$$\frac{12x^{2}-64x}{12}=-\frac{67}{12}$$

Division durch 12 macht die Multiplikation mit 12 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{64}{12}\right)x=-\frac{67}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-64}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=-\frac{67}{12}$$

Dividieren Sie -\frac{16}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{8}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{8}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}=-\frac{67}{12}+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{8}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=-\frac{67}{12}+\frac{64}{9}$$

Addieren Sie -\frac{67}{12} zu \frac{64}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{55}{36}$$

Faktor x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{55}{36}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{55}{36}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{8}{3}=\frac{\sqrt{55}}{6} x-\frac{8}{3}=-\frac{\sqrt{55}}{6}$$

Addieren Sie \frac{8}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{55}}{6}+\frac{8}{3} x=-\frac{\sqrt{55}}{6}+\frac{8}{3}$$