12x^2-5x-2 lösen

$$12 x ^ { 2 } - 5 x - 2$$

Faktorisieren

$$\left(3x-2\right)\left(4x+1\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 12x^{2}+ax+bx-2 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-5 ab=12\left(-2\right)=-24$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -24 ergeben.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -5 ergibt.

$$a=-8 b=3$$

12x^{2}-5x-2 als \left(12x^{2}-8x\right)+\left(3x-2\right) umschreiben.

$$\left(12x^{2}-8x\right)+\left(3x-2\right)$$

Klammern Sie 4x in 12x^{2}-8x aus.

$$4x\left(3x-2\right)+3x-2$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x-2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x-2\right)\left(4x+1\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$12x^{2}-5x-2=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 12\left(-2\right)}}{2\times 12}$$

-5 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 12\left(-2\right)}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 12.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-48\left(-2\right)}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -48 mit -2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+96}}{2\times 12}$$

Addieren Sie 25 zu 96.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{121}}{2\times 12}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 121.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±11}{2\times 12}$$

Das Gegenteil von -5 ist 5.

$$x=\frac{5±11}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 12.

$$x=\frac{5±11}{24}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±11}{24}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 5 zu 11.

$$x=\frac{16}{24}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{16}{24} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{2}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±11}{24}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 11 von 5.

$$x=-\frac{6}{24}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-6}{24} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{2}{3} und für x_{2} -\frac{1}{4} ein.

$$12x^{2}-5x-2=12\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{1}{4}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$12x^{2}-5x-2=12\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x+\frac{1}{4}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{2}{3} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$12x^{2}-5x-2=12\times \frac{3x-2}{3}\left(x+\frac{1}{4}\right)$$

Addieren Sie \frac{1}{4} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$12x^{2}-5x-2=12\times \frac{3x-2}{3}\times \frac{4x+1}{4}$$

Multiplizieren Sie \frac{3x-2}{3} mit \frac{4x+1}{4}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$12x^{2}-5x-2=12\times \frac{\left(3x-2\right)\left(4x+1\right)}{3\times 4}$$

Multiplizieren Sie 3 mit 4.

$$12x^{2}-5x-2=12\times \frac{\left(3x-2\right)\left(4x+1\right)}{12}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 12 in 12 und 12 aufheben.

$$12x^{2}-5x-2=\left(3x-2\right)\left(4x+1\right)$$

Auswerten

$$\left(3x-2\right)\left(4x+1\right)$$