12x^2-46x-8 lösen

$$12 x ^ { 2 } - 46 x - 8$$

Faktorisieren

$$2\left(x-4\right)\left(6x+1\right)$$

Lösungsschritte

Klammern Sie 2 aus.

$$2\left(6x^{2}-23x-4\right)$$

Betrachten Sie 6x^{2}-23x-4. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 6x^{2}+ax+bx-4 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-23 ab=6\left(-4\right)=-24$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -24 ergeben.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -23 ergibt.

$$a=-24 b=1$$

6x^{2}-23x-4 als \left(6x^{2}-24x\right)+\left(x-4\right) umschreiben.

$$\left(6x^{2}-24x\right)+\left(x-4\right)$$

Klammern Sie 6x in 6x^{2}-24x aus.

$$6x\left(x-4\right)+x-4$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-4\right)\left(6x+1\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$2\left(x-4\right)\left(6x+1\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$12x^{2}-46x-8=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{\left(-46\right)^{2}-4\times 12\left(-8\right)}}{2\times 12}$$

-46 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-4\times 12\left(-8\right)}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 12.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-48\left(-8\right)}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -48 mit -8.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116+384}}{2\times 12}$$

Addieren Sie 2116 zu 384.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2500}}{2\times 12}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 2500.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±50}{2\times 12}$$

Das Gegenteil von -46 ist 46.

$$x=\frac{46±50}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 12.

$$x=\frac{46±50}{24}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{46±50}{24}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 46 zu 50.

$$x=\frac{96}{24}$$

Dividieren Sie 96 durch 24.

$$x=4$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{46±50}{24}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 50 von 46.

$$x=-\frac{4}{24}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-4}{24} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{1}{6}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 4 und für x_{2} -\frac{1}{6} ein.

$$12x^{2}-46x-8=12\left(x-4\right)\left(x-\left(-\frac{1}{6}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$12x^{2}-46x-8=12\left(x-4\right)\left(x+\frac{1}{6}\right)$$

Addieren Sie \frac{1}{6} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$12x^{2}-46x-8=12\left(x-4\right)\times \frac{6x+1}{6}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 6 in 12 und 6 aufheben.

$$12x^{2}-46x-8=2\left(x-4\right)\left(6x+1\right)$$

Auswerten

$$2\left(x-4\right)\left(6x+1\right)$$