12x^2-320x+1600=0 lösen

$$12 x ^ { 2 } - 320 x + 1600 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3} \approx 6.666666667$$

$$x=20$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$12x^{2}-320x+1600=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 12, b durch -320 und c durch 1600, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-320\right)±\sqrt{\left(-320\right)^{2}-4\times 12\times 1600}}{2\times 12}$$

-320 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-320\right)±\sqrt{102400-4\times 12\times 1600}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 12.

$$x=\frac{-\left(-320\right)±\sqrt{102400-48\times 1600}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -48 mit 1600.

$$x=\frac{-\left(-320\right)±\sqrt{102400-76800}}{2\times 12}$$

Addieren Sie 102400 zu -76800.

$$x=\frac{-\left(-320\right)±\sqrt{25600}}{2\times 12}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 25600.

$$x=\frac{-\left(-320\right)±160}{2\times 12}$$

Das Gegenteil von -320 ist 320.

$$x=\frac{320±160}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 12.

$$x=\frac{320±160}{24}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{320±160}{24}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 320 zu 160.

$$x=\frac{480}{24}$$

Dividieren Sie 480 durch 24.

$$x=20$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{320±160}{24}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 160 von 320.

$$x=\frac{160}{24}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{160}{24} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{20}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=20 x=\frac{20}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$12x^{2}-320x+1600=0$$

1600 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$12x^{2}-320x+1600-1600=-1600$$

Die Subtraktion von 1600 von sich selbst ergibt 0.

$$12x^{2}-320x=-1600$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 12.

$$\frac{12x^{2}-320x}{12}=-\frac{1600}{12}$$

Division durch 12 macht die Multiplikation mit 12 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{320}{12}\right)x=-\frac{1600}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-320}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{80}{3}x=-\frac{1600}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-1600}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{80}{3}x=-\frac{400}{3}$$

Dividieren Sie -\frac{80}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{40}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{40}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{80}{3}x+\left(-\frac{40}{3}\right)^{2}=-\frac{400}{3}+\left(-\frac{40}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{40}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{80}{3}x+\frac{1600}{9}=-\frac{400}{3}+\frac{1600}{9}$$

Addieren Sie -\frac{400}{3} zu \frac{1600}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{80}{3}x+\frac{1600}{9}=\frac{400}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{80}{3}x+\frac{1600}{9}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x-\frac{40}{3}\right)^{2}=\frac{400}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{40}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{400}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{40}{3}=\frac{20}{3} x-\frac{40}{3}=-\frac{20}{3}$$

Addieren Sie \frac{40}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=20 x=\frac{20}{3}$$