12x^2-2x+5=0 lösen

$$12 x ^ { 2 } - 2 x + 5 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12}\approx 0,083333333+0,640095479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}\approx 0,083333333-0,640095479i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$12x^{2}-2x+5=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 12, b durch -2 und c durch 5, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

-2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-48\times 5}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -48 mit 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-240}}{2\times 12}$$

Addieren Sie 4 zu -240.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-236}}{2\times 12}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -236.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{59}i}{2\times 12}$$

Das Gegenteil von -2 ist 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 12.

$$x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 2 zu 2i\sqrt{59}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{59}i}{24}$$

Dividieren Sie 2+2i\sqrt{59} durch 24.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2i\sqrt{59} von 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{59}i+2}{24}$$

Dividieren Sie 2-2i\sqrt{59} durch 24.

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12} x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$12x^{2}-2x+5=0$$

5 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$12x^{2}-2x+5-5=-5$$

Die Subtraktion von 5 von sich selbst ergibt 0.

$$12x^{2}-2x=-5$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 12.

$$\frac{12x^{2}-2x}{12}=-\frac{5}{12}$$

Division durch 12 macht die Multiplikation mit 12 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{12}\right)x=-\frac{5}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-2}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=-\frac{5}{12}$$

Dividieren Sie -\frac{1}{6}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{12} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{12} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=-\frac{5}{12}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{12}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=-\frac{5}{12}+\frac{1}{144}$$

Addieren Sie -\frac{5}{12} zu \frac{1}{144}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=-\frac{59}{144}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=-\frac{59}{144}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{59}{144}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{\sqrt{59}i}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{\sqrt{59}i}{12}$$

Addieren Sie \frac{1}{12} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12} x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$