12x^2-12x-6=0 lösen

$$12 x ^ { 2 } - 12 x - 6 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1,366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0,366025404$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$12x^{2}-12x-6=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 12, b durch -12 und c durch -6, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 12\left(-6\right)}}{2\times 12}$$

-12 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 12\left(-6\right)}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-48\left(-6\right)}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -48 mit -6.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+288}}{2\times 12}$$

Addieren Sie 144 zu 288.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{432}}{2\times 12}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 432.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±12\sqrt{3}}{2\times 12}$$

Das Gegenteil von -12 ist 12.

$$x=\frac{12±12\sqrt{3}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 12.

$$x=\frac{12±12\sqrt{3}}{24}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{12±12\sqrt{3}}{24}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 12 zu 12\sqrt{3}.

$$x=\frac{12\sqrt{3}+12}{24}$$

Dividieren Sie 12+12\sqrt{3} durch 24.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{12±12\sqrt{3}}{24}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 12\sqrt{3} von 12.

$$x=\frac{12-12\sqrt{3}}{24}$$

Dividieren Sie 12-12\sqrt{3} durch 24.

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$12x^{2}-12x-6=0$$

Addieren Sie 6 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$12x^{2}-12x-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

Die Subtraktion von -6 von sich selbst ergibt 0.

$$12x^{2}-12x=-\left(-6\right)$$

Subtrahieren Sie -6 von 0.

$$12x^{2}-12x=6$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 12.

$$\frac{12x^{2}-12x}{12}=\frac{6}{12}$$

Division durch 12 macht die Multiplikation mit 12 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{12}\right)x=\frac{6}{12}$$

Dividieren Sie -12 durch 12.

$$x^{2}-x=\frac{6}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{6}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

Dividieren Sie -1, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu \frac{1}{4}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$