12x^2+7x-12 lösen

$$12 x ^ { 2 } + 7 x - 12$$

Faktorisieren

$$\left(4x-3\right)\left(3x+4\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 12x^{2}+ax+bx-12 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=7 ab=12\left(-12\right)=-144$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -144 ergeben.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 7 ergibt.

$$a=-9 b=16$$

12x^{2}+7x-12 als \left(12x^{2}-9x\right)+\left(16x-12\right) umschreiben.

$$\left(12x^{2}-9x\right)+\left(16x-12\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und 4 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(4x-3\right)+4\left(4x-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 4x-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(4x-3\right)\left(3x+4\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$12x^{2}+7x-12=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 12\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

7 zum Quadrat.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 12\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 12.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-48\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -48 mit -12.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+576}}{2\times 12}$$

Addieren Sie 49 zu 576.

$$x=\frac{-7±\sqrt{625}}{2\times 12}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 625.

$$x=\frac{-7±25}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 12.

$$x=\frac{-7±25}{24}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-7±25}{24}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -7 zu 25.

$$x=\frac{18}{24}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{18}{24} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{3}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-7±25}{24}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 25 von -7.

$$x=-\frac{32}{24}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-32}{24} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{3}{4} und für x_{2} -\frac{4}{3} ein.

$$12x^{2}+7x-12=12\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x-\left(-\frac{4}{3}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$12x^{2}+7x-12=12\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x+\frac{4}{3}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{3}{4} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$12x^{2}+7x-12=12\times \frac{4x-3}{4}\left(x+\frac{4}{3}\right)$$

Addieren Sie \frac{4}{3} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$12x^{2}+7x-12=12\times \frac{4x-3}{4}\times \frac{3x+4}{3}$$

Multiplizieren Sie \frac{4x-3}{4} mit \frac{3x+4}{3}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$12x^{2}+7x-12=12\times \frac{\left(4x-3\right)\left(3x+4\right)}{4\times 3}$$

Multiplizieren Sie 4 mit 3.

$$12x^{2}+7x-12=12\times \frac{\left(4x-3\right)\left(3x+4\right)}{12}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 12 in 12 und 12 aufheben.

$$12x^{2}+7x-12=\left(4x-3\right)\left(3x+4\right)$$

Auswerten

$$\left(4x-3\right)\left(3x+4\right)$$