12x^2+24x+9 lösen

$$12 x ^ { 2 } + 24 x + 9$$

Faktorisieren

$$3\left(2x+1\right)\left(2x+3\right)$$

Lösungsschritte

Klammern Sie 3 aus.

$$3\left(4x^{2}+8x+3\right)$$

Betrachten Sie 4x^{2}+8x+3. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 4x^{2}+ax+bx+3 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=8 ab=4\times 3=12$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 12 ergeben.

$$1,12 2,6 3,4$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 8 ergibt.

$$a=2 b=6$$

4x^{2}+8x+3 als \left(4x^{2}+2x\right)+\left(6x+3\right) umschreiben.

$$\left(4x^{2}+2x\right)+\left(6x+3\right)$$

Klammern Sie 2x in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$2x\left(2x+1\right)+3\left(2x+1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x+1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+3\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$3\left(2x+1\right)\left(2x+3\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$12x^{2}+24x+9=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 12\times 9}}{2\times 12}$$

24 zum Quadrat.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-4\times 12\times 9}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 12.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-48\times 9}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -48 mit 9.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-432}}{2\times 12}$$

Addieren Sie 576 zu -432.

$$x=\frac{-24±\sqrt{144}}{2\times 12}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 144.

$$x=\frac{-24±12}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 12.

$$x=\frac{-24±12}{24}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-24±12}{24}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -24 zu 12.

$$x=-\frac{12}{24}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-12}{24} um den niedrigsten Term, indem Sie 12 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-24±12}{24}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 12 von -24.

$$x=-\frac{36}{24}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-36}{24} um den niedrigsten Term, indem Sie 12 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} -\frac{1}{2} und für x_{2} -\frac{3}{2} ein.

$$12x^{2}+24x+9=12\left(x-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$12x^{2}+24x+9=12\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{3}{2}\right)$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$12x^{2}+24x+9=12\times \frac{2x+1}{2}\left(x+\frac{3}{2}\right)$$

Addieren Sie \frac{3}{2} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$12x^{2}+24x+9=12\times \frac{2x+1}{2}\times \frac{2x+3}{2}$$

Multiplizieren Sie \frac{2x+1}{2} mit \frac{2x+3}{2}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$12x^{2}+24x+9=12\times \frac{\left(2x+1\right)\left(2x+3\right)}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$12x^{2}+24x+9=12\times \frac{\left(2x+1\right)\left(2x+3\right)}{4}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 4 in 12 und 4 aufheben.

$$12x^{2}+24x+9=3\left(2x+1\right)\left(2x+3\right)$$

Auswerten

$$12x^{2}+24x+9$$