12m^2-5m-2=0 lösen

$$12 m ^ { 2 } - 5 m - 2 = 0$$

Nach m auflösen

$$m=-\frac{1}{4}=-0,25$$

$$m=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 12m^{2}+am+bm-2 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-5 ab=12\left(-2\right)=-24$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -24 ergeben.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -5 ergibt.

$$a=-8 b=3$$

12m^{2}-5m-2 als \left(12m^{2}-8m\right)+\left(3m-2\right) umschreiben.

$$\left(12m^{2}-8m\right)+\left(3m-2\right)$$

Klammern Sie 4m in 12m^{2}-8m aus.

$$4m\left(3m-2\right)+3m-2$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3m-2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3m-2\right)\left(4m+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 3m-2=0 und 4m+1=0.

$$m=\frac{2}{3} m=-\frac{1}{4}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$12m^{2}-5m-2=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 12, b durch -5 und c durch -2, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$m=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 12\left(-2\right)}}{2\times 12}$$

-5 zum Quadrat.

$$m=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 12\left(-2\right)}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 12.

$$m=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-48\left(-2\right)}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -48 mit -2.

$$m=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+96}}{2\times 12}$$

Addieren Sie 25 zu 96.

$$m=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{121}}{2\times 12}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 121.

$$m=\frac{-\left(-5\right)±11}{2\times 12}$$

Das Gegenteil von -5 ist 5.

$$m=\frac{5±11}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 12.

$$m=\frac{5±11}{24}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung m=\frac{5±11}{24}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 5 zu 11.

$$m=\frac{16}{24}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{16}{24} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$m=\frac{2}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung m=\frac{5±11}{24}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 11 von 5.

$$m=-\frac{6}{24}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-6}{24} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$m=-\frac{1}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$m=\frac{2}{3} m=-\frac{1}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$12m^{2}-5m-2=0$$

Addieren Sie 2 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$12m^{2}-5m-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Die Subtraktion von -2 von sich selbst ergibt 0.

$$12m^{2}-5m=-\left(-2\right)$$

Subtrahieren Sie -2 von 0.

$$12m^{2}-5m=2$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 12.

$$\frac{12m^{2}-5m}{12}=\frac{2}{12}$$

Division durch 12 macht die Multiplikation mit 12 rückgängig.

$$m^{2}-\frac{5}{12}m=\frac{2}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{2}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$m^{2}-\frac{5}{12}m=\frac{1}{6}$$

Dividieren Sie -\frac{5}{12}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{24} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{24} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$m^{2}-\frac{5}{12}m+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{1}{6}+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{24}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$m^{2}-\frac{5}{12}m+\frac{25}{576}=\frac{1}{6}+\frac{25}{576}$$

Addieren Sie \frac{1}{6} zu \frac{25}{576}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$m^{2}-\frac{5}{12}m+\frac{25}{576}=\frac{121}{576}$$

Faktor m^{2}-\frac{5}{12}m+\frac{25}{576}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(m-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{121}{576}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(m-\frac{5}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{576}}$$

Vereinfachen.

$$m-\frac{5}{24}=\frac{11}{24} m-\frac{5}{24}=-\frac{11}{24}$$

Addieren Sie \frac{5}{24} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$m=\frac{2}{3} m=-\frac{1}{4}$$