12k^2+16k-3 lösen

$$12 k ^ { 2 } + 16 k - 3$$

Faktorisieren

$$\left(6k-1\right)\left(2k+3\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 12k^{2}+ak+bk-3 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=16 ab=12\left(-3\right)=-36$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -36 ergeben.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 16 ergibt.

$$a=-2 b=18$$

12k^{2}+16k-3 als \left(12k^{2}-2k\right)+\left(18k-3\right) umschreiben.

$$\left(12k^{2}-2k\right)+\left(18k-3\right)$$

Klammern Sie 2k in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$2k\left(6k-1\right)+3\left(6k-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 6k-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(6k-1\right)\left(2k+3\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$12k^{2}+16k-3=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$k=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 12\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

16 zum Quadrat.

$$k=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 12\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 12.

$$k=\frac{-16±\sqrt{256-48\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -48 mit -3.

$$k=\frac{-16±\sqrt{256+144}}{2\times 12}$$

Addieren Sie 256 zu 144.

$$k=\frac{-16±\sqrt{400}}{2\times 12}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 400.

$$k=\frac{-16±20}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 12.

$$k=\frac{-16±20}{24}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung k=\frac{-16±20}{24}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -16 zu 20.

$$k=\frac{4}{24}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{4}{24} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$k=\frac{1}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung k=\frac{-16±20}{24}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 20 von -16.

$$k=-\frac{36}{24}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-36}{24} um den niedrigsten Term, indem Sie 12 extrahieren und aufheben.

$$k=-\frac{3}{2}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{1}{6} und für x_{2} -\frac{3}{2} ein.

$$12k^{2}+16k-3=12\left(k-\frac{1}{6}\right)\left(k-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$12k^{2}+16k-3=12\left(k-\frac{1}{6}\right)\left(k+\frac{3}{2}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{1}{6} von k, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$12k^{2}+16k-3=12\times \frac{6k-1}{6}\left(k+\frac{3}{2}\right)$$

Addieren Sie \frac{3}{2} zu k, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$12k^{2}+16k-3=12\times \frac{6k-1}{6}\times \frac{2k+3}{2}$$

Multiplizieren Sie \frac{6k-1}{6} mit \frac{2k+3}{2}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$12k^{2}+16k-3=12\times \frac{\left(6k-1\right)\left(2k+3\right)}{6\times 2}$$

Multiplizieren Sie 6 mit 2.

$$12k^{2}+16k-3=12\times \frac{\left(6k-1\right)\left(2k+3\right)}{12}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 12 in 12 und 12 aufheben.

$$12k^{2}+16k-3=\left(6k-1\right)\left(2k+3\right)$$

Auswerten

$$\left(6k-1\right)\left(2k+3\right)$$