12k^2+15k-27 lösen

$$12 k ^ { 2 } + 15 k - 27$$

Faktorisieren

$$3\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$

Lösungsschritte

Klammern Sie 3 aus.

$$3\left(4k^{2}+5k-9\right)$$

Betrachten Sie 4k^{2}+5k-9. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 4k^{2}+ak+bk-9 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=5 ab=4\left(-9\right)=-36$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -36 ergeben.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 5 ergibt.

$$a=-4 b=9$$

4k^{2}+5k-9 als \left(4k^{2}-4k\right)+\left(9k-9\right) umschreiben.

$$\left(4k^{2}-4k\right)+\left(9k-9\right)$$

Klammern Sie 4k in der ersten und 9 in der zweiten Gruppe aus.

$$4k\left(k-1\right)+9\left(k-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term k-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$3\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$12k^{2}+15k-27=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$k=\frac{-15±\sqrt{15^{2}-4\times 12\left(-27\right)}}{2\times 12}$$

15 zum Quadrat.

$$k=\frac{-15±\sqrt{225-4\times 12\left(-27\right)}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 12.

$$k=\frac{-15±\sqrt{225-48\left(-27\right)}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -48 mit -27.

$$k=\frac{-15±\sqrt{225+1296}}{2\times 12}$$

Addieren Sie 225 zu 1296.

$$k=\frac{-15±\sqrt{1521}}{2\times 12}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1521.

$$k=\frac{-15±39}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 12.

$$k=\frac{-15±39}{24}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung k=\frac{-15±39}{24}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -15 zu 39.

$$k=\frac{24}{24}$$

Dividieren Sie 24 durch 24.

$$k=1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung k=\frac{-15±39}{24}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 39 von -15.

$$k=-\frac{54}{24}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-54}{24} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$k=-\frac{9}{4}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 1 und für x_{2} -\frac{9}{4} ein.

$$12k^{2}+15k-27=12\left(k-1\right)\left(k-\left(-\frac{9}{4}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$12k^{2}+15k-27=12\left(k-1\right)\left(k+\frac{9}{4}\right)$$

Addieren Sie \frac{9}{4} zu k, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$12k^{2}+15k-27=12\left(k-1\right)\times \frac{4k+9}{4}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 4 in 12 und 4 aufheben.

$$12k^{2}+15k-27=3\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$

Auswerten

$$3\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$