12g^2+80g+48 lösen

$$12 g ^ { 2 } + 80 g + 48$$

Faktorisieren

$$4\left(g+6\right)\left(3g+2\right)$$

Lösungsschritte

Klammern Sie 4 aus.

$$4\left(3g^{2}+20g+12\right)$$

Betrachten Sie 3g^{2}+20g+12. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 3g^{2}+ag+bg+12 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=20 ab=3\times 12=36$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 36 ergeben.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 20 ergibt.

$$a=2 b=18$$

3g^{2}+20g+12 als \left(3g^{2}+2g\right)+\left(18g+12\right) umschreiben.

$$\left(3g^{2}+2g\right)+\left(18g+12\right)$$

Klammern Sie g in der ersten und 6 in der zweiten Gruppe aus.

$$g\left(3g+2\right)+6\left(3g+2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3g+2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3g+2\right)\left(g+6\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$4\left(3g+2\right)\left(g+6\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$12g^{2}+80g+48=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$g=\frac{-80±\sqrt{80^{2}-4\times 12\times 48}}{2\times 12}$$

80 zum Quadrat.

$$g=\frac{-80±\sqrt{6400-4\times 12\times 48}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 12.

$$g=\frac{-80±\sqrt{6400-48\times 48}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -48 mit 48.

$$g=\frac{-80±\sqrt{6400-2304}}{2\times 12}$$

Addieren Sie 6400 zu -2304.

$$g=\frac{-80±\sqrt{4096}}{2\times 12}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 4096.

$$g=\frac{-80±64}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 12.

$$g=\frac{-80±64}{24}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung g=\frac{-80±64}{24}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -80 zu 64.

$$g=-\frac{16}{24}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-16}{24} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$g=-\frac{2}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung g=\frac{-80±64}{24}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 64 von -80.

$$g=-\frac{144}{24}$$

Dividieren Sie -144 durch 24.

$$g=-6$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} -\frac{2}{3} und für x_{2} -6 ein.

$$12g^{2}+80g+48=12\left(g-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)\left(g-\left(-6\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$12g^{2}+80g+48=12\left(g+\frac{2}{3}\right)\left(g+6\right)$$

Addieren Sie \frac{2}{3} zu g, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$12g^{2}+80g+48=12\times \frac{3g+2}{3}\left(g+6\right)$$

Den größten gemeinsamen Faktor 3 in 12 und 3 aufheben.

$$12g^{2}+80g+48=4\left(3g+2\right)\left(g+6\right)$$

Auswerten

$$4\left(g+6\right)\left(3g+2\right)$$