12c^2+11c-15 lösen

$$12 c ^ { 2 } + 11 c - 15$$

Faktorisieren

$$\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 12c^{2}+ac+bc-15 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -180 ergeben.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 11 ergibt.

$$a=-9 b=20$$

12c^{2}+11c-15 als \left(12c^{2}-9c\right)+\left(20c-15\right) umschreiben.

$$\left(12c^{2}-9c\right)+\left(20c-15\right)$$

Klammern Sie 3c in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$3c\left(4c-3\right)+5\left(4c-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 4c-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$12c^{2}+11c-15=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$c=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

11 zum Quadrat.

$$c=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 12.

$$c=\frac{-11±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -48 mit -15.

$$c=\frac{-11±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

Addieren Sie 121 zu 720.

$$c=\frac{-11±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 841.

$$c=\frac{-11±29}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 12.

$$c=\frac{-11±29}{24}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung c=\frac{-11±29}{24}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -11 zu 29.

$$c=\frac{18}{24}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{18}{24} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$c=\frac{3}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung c=\frac{-11±29}{24}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 29 von -11.

$$c=-\frac{40}{24}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-40}{24} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$c=-\frac{5}{3}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{3}{4} und für x_{2} -\frac{5}{3} ein.

$$12c^{2}+11c-15=12\left(c-\frac{3}{4}\right)\left(c-\left(-\frac{5}{3}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$12c^{2}+11c-15=12\left(c-\frac{3}{4}\right)\left(c+\frac{5}{3}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{3}{4} von c, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$12c^{2}+11c-15=12\times \frac{4c-3}{4}\left(c+\frac{5}{3}\right)$$

Addieren Sie \frac{5}{3} zu c, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$12c^{2}+11c-15=12\times \frac{4c-3}{4}\times \frac{3c+5}{3}$$

Multiplizieren Sie \frac{4c-3}{4} mit \frac{3c+5}{3}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$12c^{2}+11c-15=12\times \frac{\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)}{4\times 3}$$

Multiplizieren Sie 4 mit 3.

$$12c^{2}+11c-15=12\times \frac{\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)}{12}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 12 in 12 und 12 aufheben.

$$12c^{2}+11c-15=\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)$$

Auswerten

$$\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)$$