12(n-4)-30=n^2-9n+12 lösen

$$12 ( n - 4 ) - 30 = n ^ { 2 } - 9 n + 12$$

Nach n auflösen

$$n=6$$

$$n=15$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 12 mit n-4 zu multiplizieren.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Subtrahieren Sie 30 von -48, um -78 zu erhalten.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Subtrahieren Sie n^{2} von beiden Seiten.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Auf beiden Seiten 9n addieren.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Kombinieren Sie 12n und 9n, um 21n zu erhalten.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Subtrahieren Sie 12 von beiden Seiten.

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

Subtrahieren Sie 12 von -78, um -90 zu erhalten.

$$21n-90-n^{2}=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$-n^{2}+21n-90=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -n^{2}+an+bn-90 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=21 ab=-\left(-90\right)=90$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 90 ergeben.

$$1,90 2,45 3,30 5,18 6,15 9,10$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+90=91 2+45=47 3+30=33 5+18=23 6+15=21 9+10=19$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 21 ergibt.

$$a=15 b=6$$

-n^{2}+21n-90 als \left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right) umschreiben.

$$\left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right)$$

Klammern Sie -n in der ersten und 6 in der zweiten Gruppe aus.

$$-n\left(n-15\right)+6\left(n-15\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term n-15 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(n-15\right)\left(-n+6\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie n-15=0 und -n+6=0.

$$n=15 n=6$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 12 mit n-4 zu multiplizieren.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Subtrahieren Sie 30 von -48, um -78 zu erhalten.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Subtrahieren Sie n^{2} von beiden Seiten.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Auf beiden Seiten 9n addieren.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Kombinieren Sie 12n und 9n, um 21n zu erhalten.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Subtrahieren Sie 12 von beiden Seiten.

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

Subtrahieren Sie 12 von -78, um -90 zu erhalten.

$$21n-90-n^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-n^{2}+21n-90=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -1, b durch 21 und c durch -90, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

21 zum Quadrat.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -1.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441+4\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 4 mit -90.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-360}}{2\left(-1\right)}$$

Addieren Sie 441 zu -360.

$$n=\frac{-21±\sqrt{81}}{2\left(-1\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 81.

$$n=\frac{-21±9}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -1.

$$n=\frac{-21±9}{-2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung n=\frac{-21±9}{-2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -21 zu 9.

$$n=-\frac{12}{-2}$$

Dividieren Sie -12 durch -2.

$$n=6$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung n=\frac{-21±9}{-2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 9 von -21.

$$n=-\frac{30}{-2}$$

Dividieren Sie -30 durch -2.

$$n=15$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$n=6 n=15$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 12 mit n-4 zu multiplizieren.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Subtrahieren Sie 30 von -48, um -78 zu erhalten.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Subtrahieren Sie n^{2} von beiden Seiten.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Auf beiden Seiten 9n addieren.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Kombinieren Sie 12n und 9n, um 21n zu erhalten.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Auf beiden Seiten 78 addieren.

$$21n-n^{2}=12+78$$

Addieren Sie 12 und 78, um 90 zu erhalten.

$$21n-n^{2}=90$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-n^{2}+21n=90$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -1.

$$\frac{-n^{2}+21n}{-1}=\frac{90}{-1}$$

Division durch -1 macht die Multiplikation mit -1 rückgängig.

$$n^{2}+\frac{21}{-1}n=\frac{90}{-1}$$

Dividieren Sie 21 durch -1.

$$n^{2}-21n=\frac{90}{-1}$$

Dividieren Sie 90 durch -1.

$$n^{2}-21n=-90$$

Dividieren Sie -21, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{21}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{21}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$n^{2}-21n+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-90+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{21}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=-90+\frac{441}{4}$$

Addieren Sie -90 zu \frac{441}{4}.

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=\frac{81}{4}$$

Faktor n^{2}-21n+\frac{441}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Vereinfachen.

$$n-\frac{21}{2}=\frac{9}{2} n-\frac{21}{2}=-\frac{9}{2}$$

Addieren Sie \frac{21}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$n=15 n=6$$