12z^2-7z-12 lösen

$$12 { z }^{ 2 } -7z-12$$

Faktorisieren

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 12z^{2}+az+bz-12 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-7 ab=12\left(-12\right)=-144$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -144 ergeben.

$$1,-144 2,-72 3,-48 4,-36 6,-24 8,-18 9,-16 12,-12$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-144=-143 2-72=-70 3-48=-45 4-36=-32 6-24=-18 8-18=-10 9-16=-7 12-12=0$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -7 ergibt.

$$a=-16 b=9$$

12z^{2}-7z-12 als \left(12z^{2}-16z\right)+\left(9z-12\right) umschreiben.

$$\left(12z^{2}-16z\right)+\left(9z-12\right)$$

Klammern Sie 4z in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$4z\left(3z-4\right)+3\left(3z-4\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3z-4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$12z^{2}-7z-12=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 12\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

-7 zum Quadrat.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 12\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 12.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -48 mit -12.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+576}}{2\times 12}$$

Addieren Sie 49 zu 576.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{625}}{2\times 12}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 625.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±25}{2\times 12}$$

Das Gegenteil von -7 ist 7.

$$z=\frac{7±25}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 12.

$$z=\frac{7±25}{24}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung z=\frac{7±25}{24}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 7 zu 25.

$$z=\frac{32}{24}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{32}{24} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$z=\frac{4}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung z=\frac{7±25}{24}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 25 von 7.

$$z=-\frac{18}{24}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-18}{24} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$z=-\frac{3}{4}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{4}{3} und für x_{2} -\frac{3}{4} ein.

$$12z^{2}-7z-12=12\left(z-\frac{4}{3}\right)\left(z-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$12z^{2}-7z-12=12\left(z-\frac{4}{3}\right)\left(z+\frac{3}{4}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{4}{3} von z, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{3z-4}{3}\left(z+\frac{3}{4}\right)$$

Addieren Sie \frac{3}{4} zu z, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{3z-4}{3}\times \frac{4z+3}{4}$$

Multiplizieren Sie \frac{3z-4}{3} mit \frac{4z+3}{4}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)}{3\times 4}$$

Multiplizieren Sie 3 mit 4.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)}{12}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 12 in 12 und 12 aufheben.

$$12z^{2}-7z-12=\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

Auswerten

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$