12x^2-x-6 lösen

$$12 { x }^{ 2 } -x-6$$

Faktorisieren

$$\left(4x-3\right)\left(3x+2\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 12x^{2}+ax+bx-6 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-1 ab=12\left(-6\right)=-72$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -72 ergeben.

$$1,-72 2,-36 3,-24 4,-18 6,-12 8,-9$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-72=-71 2-36=-34 3-24=-21 4-18=-14 6-12=-6 8-9=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -1 ergibt.

$$a=-9 b=8$$

12x^{2}-x-6 als \left(12x^{2}-9x\right)+\left(8x-6\right) umschreiben.

$$\left(12x^{2}-9x\right)+\left(8x-6\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(4x-3\right)+2\left(4x-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 4x-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(4x-3\right)\left(3x+2\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$12x^{2}-x-6=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 12\left(-6\right)}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 12.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-48\left(-6\right)}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -48 mit -6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+288}}{2\times 12}$$

Addieren Sie 1 zu 288.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{289}}{2\times 12}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 289.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±17}{2\times 12}$$

Das Gegenteil von -1 ist 1.

$$x=\frac{1±17}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 12.

$$x=\frac{1±17}{24}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{1±17}{24}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 1 zu 17.

$$x=\frac{18}{24}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{18}{24} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{3}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{1±17}{24}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 17 von 1.

$$x=-\frac{16}{24}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-16}{24} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{3}{4} und für x_{2} -\frac{2}{3} ein.

$$12x^{2}-x-6=12\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$12x^{2}-x-6=12\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{3}{4} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$12x^{2}-x-6=12\times \frac{4x-3}{4}\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

Addieren Sie \frac{2}{3} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$12x^{2}-x-6=12\times \frac{4x-3}{4}\times \frac{3x+2}{3}$$

Multiplizieren Sie \frac{4x-3}{4} mit \frac{3x+2}{3}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$12x^{2}-x-6=12\times \frac{\left(4x-3\right)\left(3x+2\right)}{4\times 3}$$

Multiplizieren Sie 4 mit 3.

$$12x^{2}-x-6=12\times \frac{\left(4x-3\right)\left(3x+2\right)}{12}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 12 in 12 und 12 aufheben.

$$12x^{2}-x-6=\left(4x-3\right)\left(3x+2\right)$$

Auswerten

$$\left(4x-3\right)\left(3x+2\right)$$