12x^2-88x+400=0 lösen

$$12 { x }^{ 2 } -88x+400 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{11+\sqrt{179}i}{3}\approx 3,666666667+4,459696053i$$

$$x=\frac{-\sqrt{179}i+11}{3}\approx 3,666666667-4,459696053i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$12x^{2}-88x+400=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 12, b durch -88 und c durch 400, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-88\right)±\sqrt{\left(-88\right)^{2}-4\times 12\times 400}}{2\times 12}$$

-88 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-88\right)±\sqrt{7744-4\times 12\times 400}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 12.

$$x=\frac{-\left(-88\right)±\sqrt{7744-48\times 400}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -48 mit 400.

$$x=\frac{-\left(-88\right)±\sqrt{7744-19200}}{2\times 12}$$

Addieren Sie 7744 zu -19200.

$$x=\frac{-\left(-88\right)±\sqrt{-11456}}{2\times 12}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -11456.

$$x=\frac{-\left(-88\right)±8\sqrt{179}i}{2\times 12}$$

Das Gegenteil von -88 ist 88.

$$x=\frac{88±8\sqrt{179}i}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 12.

$$x=\frac{88±8\sqrt{179}i}{24}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{88±8\sqrt{179}i}{24}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 88 zu 8i\sqrt{179}.

$$x=\frac{88+8\sqrt{179}i}{24}$$

Dividieren Sie 88+8i\sqrt{179} durch 24.

$$x=\frac{11+\sqrt{179}i}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{88±8\sqrt{179}i}{24}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 8i\sqrt{179} von 88.

$$x=\frac{-8\sqrt{179}i+88}{24}$$

Dividieren Sie 88-8i\sqrt{179} durch 24.

$$x=\frac{-\sqrt{179}i+11}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{11+\sqrt{179}i}{3} x=\frac{-\sqrt{179}i+11}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$12x^{2}-88x+400=0$$

400 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$12x^{2}-88x+400-400=-400$$

Die Subtraktion von 400 von sich selbst ergibt 0.

$$12x^{2}-88x=-400$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 12.

$$\frac{12x^{2}-88x}{12}=-\frac{400}{12}$$

Division durch 12 macht die Multiplikation mit 12 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{88}{12}\right)x=-\frac{400}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-88}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x=-\frac{400}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-400}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x=-\frac{100}{3}$$

Dividieren Sie -\frac{22}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{11}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{11}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}=-\frac{100}{3}+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{11}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=-\frac{100}{3}+\frac{121}{9}$$

Addieren Sie -\frac{100}{3} zu \frac{121}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=-\frac{179}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}=-\frac{179}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{179}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{11}{3}=\frac{\sqrt{179}i}{3} x-\frac{11}{3}=-\frac{\sqrt{179}i}{3}$$

Addieren Sie \frac{11}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{11+\sqrt{179}i}{3} x=\frac{-\sqrt{179}i+11}{3}$$