12x^2-160x+400=0 lösen

$$12 { x }^{ 2 } -160x+400 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3,333333333$$

$$x=10$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$12x^{2}-160x+400=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 12, b durch -160 und c durch 400, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{\left(-160\right)^{2}-4\times 12\times 400}}{2\times 12}$$

-160 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{25600-4\times 12\times 400}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 12.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{25600-48\times 400}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -48 mit 400.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{25600-19200}}{2\times 12}$$

Addieren Sie 25600 zu -19200.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{6400}}{2\times 12}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 6400.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±80}{2\times 12}$$

Das Gegenteil von -160 ist 160.

$$x=\frac{160±80}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 12.

$$x=\frac{160±80}{24}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{160±80}{24}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 160 zu 80.

$$x=\frac{240}{24}$$

Dividieren Sie 240 durch 24.

$$x=10$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{160±80}{24}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 80 von 160.

$$x=\frac{80}{24}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{80}{24} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{10}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=10 x=\frac{10}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$12x^{2}-160x+400=0$$

400 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$12x^{2}-160x+400-400=-400$$

Die Subtraktion von 400 von sich selbst ergibt 0.

$$12x^{2}-160x=-400$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 12.

$$\frac{12x^{2}-160x}{12}=-\frac{400}{12}$$

Division durch 12 macht die Multiplikation mit 12 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{160}{12}\right)x=-\frac{400}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-160}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x=-\frac{400}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-400}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x=-\frac{100}{3}$$

Dividieren Sie -\frac{40}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{20}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{20}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}=-\frac{100}{3}+\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{20}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}=-\frac{100}{3}+\frac{400}{9}$$

Addieren Sie -\frac{100}{3} zu \frac{400}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}=\frac{100}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x-\frac{20}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{20}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{20}{3}=\frac{10}{3} x-\frac{20}{3}=-\frac{10}{3}$$

Addieren Sie \frac{20}{3} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=10 x=\frac{10}{3}$$