12x^2-102x+160=0 lösen

$$12 { x }^{ 2 } -102x+160=0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}\approx 6,424664725$$

$$x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}\approx 2,075335275$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$12x^{2}-102x+160=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 12, b durch -102 und c durch 160, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{\left(-102\right)^{2}-4\times 12\times 160}}{2\times 12}$$

-102 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-4\times 12\times 160}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 12.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-48\times 160}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -48 mit 160.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-7680}}{2\times 12}$$

Addieren Sie 10404 zu -7680.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{2724}}{2\times 12}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 2724.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±2\sqrt{681}}{2\times 12}$$

Das Gegenteil von -102 ist 102.

$$x=\frac{102±2\sqrt{681}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 12.

$$x=\frac{102±2\sqrt{681}}{24}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{102±2\sqrt{681}}{24}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 102 zu 2\sqrt{681}.

$$x=\frac{2\sqrt{681}+102}{24}$$

Dividieren Sie 102+2\sqrt{681} durch 24.

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{102±2\sqrt{681}}{24}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{681} von 102.

$$x=\frac{102-2\sqrt{681}}{24}$$

Dividieren Sie 102-2\sqrt{681} durch 24.

$$x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4} x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$12x^{2}-102x+160=0$$

160 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$12x^{2}-102x+160-160=-160$$

Die Subtraktion von 160 von sich selbst ergibt 0.

$$12x^{2}-102x=-160$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 12.

$$\frac{12x^{2}-102x}{12}=-\frac{160}{12}$$

Division durch 12 macht die Multiplikation mit 12 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{102}{12}\right)x=-\frac{160}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-102}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x=-\frac{160}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-160}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x=-\frac{40}{3}$$

Dividieren Sie -\frac{17}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{17}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{17}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x+\left(-\frac{17}{4}\right)^{2}=-\frac{40}{3}+\left(-\frac{17}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{17}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=-\frac{40}{3}+\frac{289}{16}$$

Addieren Sie -\frac{40}{3} zu \frac{289}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=\frac{227}{48}$$

Faktor x^{2}-\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x-\frac{17}{4}\right)^{2}=\frac{227}{48}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{227}{48}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{17}{4}=\frac{\sqrt{681}}{12} x-\frac{17}{4}=-\frac{\sqrt{681}}{12}$$

Addieren Sie \frac{17}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4} x=-\frac{\sqrt{681}}{12}+\frac{17}{4}$$