12x^2+36x+27=0 lösen

$$12 { x }^{ 2 } +36x+27=0$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$4x^{2}+12x+9=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 4x^{2}+ax+bx+9 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=12 ab=4\times 9=36$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 36 ergeben.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 12 ergibt.

$$a=6 b=6$$

4x^{2}+12x+9 als \left(4x^{2}+6x\right)+\left(6x+9\right) umschreiben.

$$\left(4x^{2}+6x\right)+\left(6x+9\right)$$

Klammern Sie 2x in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$2x\left(2x+3\right)+3\left(2x+3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x+3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x+3\right)\left(2x+3\right)$$

Umschreiben als binomisches Quadrat.

$$\left(2x+3\right)^{2}$$

Um eine Lösung für die Gleichung zu finden, lösen Sie 2x+3=0.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$12x^{2}+36x+27=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 12, b durch 36 und c durch 27, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\times 27}}{2\times 12}$$

36 zum Quadrat.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 12\times 27}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 12.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-48\times 27}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -48 mit 27.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-1296}}{2\times 12}$$

Addieren Sie 1296 zu -1296.

$$x=\frac{-36±\sqrt{0}}{2\times 12}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 0.

$$x=-\frac{36}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 12.

$$x=-\frac{36}{24}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-36}{24} um den niedrigsten Term, indem Sie 12 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$12x^{2}+36x+27=0$$

27 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$12x^{2}+36x+27-27=-27$$

Die Subtraktion von 27 von sich selbst ergibt 0.

$$12x^{2}+36x=-27$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 12.

$$\frac{12x^{2}+36x}{12}=-\frac{27}{12}$$

Division durch 12 macht die Multiplikation mit 12 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{36}{12}x=-\frac{27}{12}$$

Dividieren Sie 36 durch 12.

$$x^{2}+3x=-\frac{27}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-27}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 3 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+3x=-\frac{9}{4}$$

Dividieren Sie 3, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{3}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{3}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{-9+9}{4}$$

Addieren Sie -\frac{9}{4} zu \frac{9}{4}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=0$$

Faktor x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=0$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{3}{2}=0 x+\frac{3}{2}=0$$

\frac{3}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=-\frac{3}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst. Die Lösungen sind identisch.

$$x=-\frac{3}{2}$$