12x^2+32x+5=0 lösen

$$12 { x }^{ 2 } +32x+5=0$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0.166666667$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 12x^{2}+ax+bx+5 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=32 ab=12\times 5=60$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 60 ergeben.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 32 ergibt.

$$a=2 b=30$$

12x^{2}+32x+5 als \left(12x^{2}+2x\right)+\left(30x+5\right) umschreiben.

$$\left(12x^{2}+2x\right)+\left(30x+5\right)$$

Klammern Sie 2x in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$2x\left(6x+1\right)+5\left(6x+1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 6x+1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(6x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 6x+1=0 und 2x+5=0.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$12x^{2}+32x+5=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 12, b durch 32 und c durch 5, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

32 zum Quadrat.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 12.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-48\times 5}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -48 mit 5.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-240}}{2\times 12}$$

Addieren Sie 1024 zu -240.

$$x=\frac{-32±\sqrt{784}}{2\times 12}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 784.

$$x=\frac{-32±28}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 12.

$$x=\frac{-32±28}{24}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-32±28}{24}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -32 zu 28.

$$x=-\frac{4}{24}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-4}{24} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{1}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-32±28}{24}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 28 von -32.

$$x=-\frac{60}{24}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-60}{24} um den niedrigsten Term, indem Sie 12 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$12x^{2}+32x+5=0$$

5 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$12x^{2}+32x+5-5=-5$$

Die Subtraktion von 5 von sich selbst ergibt 0.

$$12x^{2}+32x=-5$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 12.

$$\frac{12x^{2}+32x}{12}=-\frac{5}{12}$$

Division durch 12 macht die Multiplikation mit 12 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{32}{12}x=-\frac{5}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{32}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{5}{12}$$

Dividieren Sie \frac{8}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{4}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{4}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{12}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{4}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=-\frac{5}{12}+\frac{16}{9}$$

Addieren Sie -\frac{5}{12} zu \frac{16}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{49}{36}$$

Faktor x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{7}{6} x+\frac{4}{3}=-\frac{7}{6}$$

\frac{4}{3} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$