12x^2+25x-45=0 lösen

$$12 { x }^{ 2 } +25x-45=0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{2785} - 25}{24} \approx 1.157212467$$

$$x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}\approx -3.2405458$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$12x^{2}+25x-45=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 12, b durch 25 und c durch -45, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 12\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

25 zum Quadrat.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 12\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 12.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-48\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -48 mit -45.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625+2160}}{2\times 12}$$

Addieren Sie 625 zu 2160.

$$x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 12.

$$x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -25 zu \sqrt{2785}.

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{2785} von -25.

$$x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24} x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$12x^{2}+25x-45=0$$

Addieren Sie 45 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$12x^{2}+25x-45-\left(-45\right)=-\left(-45\right)$$

Die Subtraktion von -45 von sich selbst ergibt 0.

$$12x^{2}+25x=-\left(-45\right)$$

Subtrahieren Sie -45 von 0.

$$12x^{2}+25x=45$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 12.

$$\frac{12x^{2}+25x}{12}=\frac{45}{12}$$

Division durch 12 macht die Multiplikation mit 12 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x=\frac{45}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{45}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 3 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x=\frac{15}{4}$$

Dividieren Sie \frac{25}{12}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{25}{24} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{25}{24} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{25}{24}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576}=\frac{15}{4}+\frac{625}{576}$$

Addieren Sie \frac{15}{4} zu \frac{625}{576}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576}=\frac{2785}{576}$$

Faktor x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x+\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{2785}{576}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2785}{576}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{25}{24}=\frac{\sqrt{2785}}{24} x+\frac{25}{24}=-\frac{\sqrt{2785}}{24}$$

\frac{25}{24} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24} x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$