12t^2+17t=40 lösen

$$12 { t }^{ 2 } +17t = 40$$

Nach t auflösen

$$t = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2,666666667$$

$$t = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 40 von beiden Seiten.

$$12t^{2}+17t-40=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 12t^{2}+at+bt-40 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=17 ab=12\left(-40\right)=-480$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -480 ergeben.

$$-1,480 -2,240 -3,160 -4,120 -5,96 -6,80 -8,60 -10,48 -12,40 -15,32 -16,30 -20,24$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+480=479 -2+240=238 -3+160=157 -4+120=116 -5+96=91 -6+80=74 -8+60=52 -10+48=38 -12+40=28 -15+32=17 -16+30=14 -20+24=4$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 17 ergibt.

$$a=-15 b=32$$

12t^{2}+17t-40 als \left(12t^{2}-15t\right)+\left(32t-40\right) umschreiben.

$$\left(12t^{2}-15t\right)+\left(32t-40\right)$$

Klammern Sie 3t in der ersten und 8 in der zweiten Gruppe aus.

$$3t\left(4t-5\right)+8\left(4t-5\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 4t-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(4t-5\right)\left(3t+8\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 4t-5=0 und 3t+8=0.

$$t=\frac{5}{4} t=-\frac{8}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$12t^{2}+17t=40$$

40 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$12t^{2}+17t-40=40-40$$

Die Subtraktion von 40 von sich selbst ergibt 0.

$$12t^{2}+17t-40=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 12, b durch 17 und c durch -40, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 12\left(-40\right)}}{2\times 12}$$

17 zum Quadrat.

$$t=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 12\left(-40\right)}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 12.

$$t=\frac{-17±\sqrt{289-48\left(-40\right)}}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie -48 mit -40.

$$t=\frac{-17±\sqrt{289+1920}}{2\times 12}$$

Addieren Sie 289 zu 1920.

$$t=\frac{-17±\sqrt{2209}}{2\times 12}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 2209.

$$t=\frac{-17±47}{2\times 12}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 12.

$$t=\frac{-17±47}{24}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung t=\frac{-17±47}{24}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -17 zu 47.

$$t=\frac{30}{24}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{30}{24} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$t=\frac{5}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung t=\frac{-17±47}{24}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 47 von -17.

$$t=-\frac{64}{24}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-64}{24} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$t=-\frac{8}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$t=\frac{5}{4} t=-\frac{8}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$12t^{2}+17t=40$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 12.

$$\frac{12t^{2}+17t}{12}=\frac{40}{12}$$

Division durch 12 macht die Multiplikation mit 12 rückgängig.

$$t^{2}+\frac{17}{12}t=\frac{40}{12}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{40}{12} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$t^{2}+\frac{17}{12}t=\frac{10}{3}$$

Dividieren Sie \frac{17}{12}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{17}{24} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{17}{24} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$t^{2}+\frac{17}{12}t+\left(\frac{17}{24}\right)^{2}=\frac{10}{3}+\left(\frac{17}{24}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{17}{24}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$t^{2}+\frac{17}{12}t+\frac{289}{576}=\frac{10}{3}+\frac{289}{576}$$

Addieren Sie \frac{10}{3} zu \frac{289}{576}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$t^{2}+\frac{17}{12}t+\frac{289}{576}=\frac{2209}{576}$$

Faktor t^{2}+\frac{17}{12}t+\frac{289}{576}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(t+\frac{17}{24}\right)^{2}=\frac{2209}{576}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(t+\frac{17}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{576}}$$

Vereinfachen.

$$t+\frac{17}{24}=\frac{47}{24} t+\frac{17}{24}=-\frac{47}{24}$$

\frac{17}{24} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$t=\frac{5}{4} t=-\frac{8}{3}$$