110x-10x^2=2800 lösen

$$110x-10 { x }^{ 2 } =2800$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{11+3\sqrt{111}i}{2}\approx 5,5+15,803480629i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{111}i+11}{2}\approx 5,5-15,803480629i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-10x^{2}+110x=2800$$

2800 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$-10x^{2}+110x-2800=2800-2800$$

Die Subtraktion von 2800 von sich selbst ergibt 0.

$$-10x^{2}+110x-2800=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -10, b durch 110 und c durch -2800, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-110±\sqrt{110^{2}-4\left(-10\right)\left(-2800\right)}}{2\left(-10\right)}$$

110 zum Quadrat.

$$x=\frac{-110±\sqrt{12100-4\left(-10\right)\left(-2800\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -10.

$$x=\frac{-110±\sqrt{12100+40\left(-2800\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Multiplizieren Sie 40 mit -2800.

$$x=\frac{-110±\sqrt{12100-112000}}{2\left(-10\right)}$$

Addieren Sie 12100 zu -112000.

$$x=\frac{-110±\sqrt{-99900}}{2\left(-10\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -99900.

$$x=\frac{-110±30\sqrt{111}i}{2\left(-10\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -10.

$$x=\frac{-110±30\sqrt{111}i}{-20}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-110±30\sqrt{111}i}{-20}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -110 zu 30i\sqrt{111}.

$$x=\frac{-110+30\sqrt{111}i}{-20}$$

Dividieren Sie -110+30i\sqrt{111} durch -20.

$$x=\frac{-3\sqrt{111}i+11}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-110±30\sqrt{111}i}{-20}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 30i\sqrt{111} von -110.

$$x=\frac{-30\sqrt{111}i-110}{-20}$$

Dividieren Sie -110-30i\sqrt{111} durch -20.

$$x=\frac{11+3\sqrt{111}i}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-3\sqrt{111}i+11}{2} x=\frac{11+3\sqrt{111}i}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-10x^{2}+110x=2800$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -10.

$$\frac{-10x^{2}+110x}{-10}=\frac{2800}{-10}$$

Division durch -10 macht die Multiplikation mit -10 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{110}{-10}x=\frac{2800}{-10}$$

Dividieren Sie 110 durch -10.

$$x^{2}-11x=\frac{2800}{-10}$$

Dividieren Sie 2800 durch -10.

$$x^{2}-11x=-280$$

Dividieren Sie -11, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{11}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{11}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=-280+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{11}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=-280+\frac{121}{4}$$

Addieren Sie -280 zu \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=-\frac{999}{4}$$

Faktor x^{2}-11x+\frac{121}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=-\frac{999}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{999}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{3\sqrt{111}i}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{3\sqrt{111}i}{2}$$

Addieren Sie \frac{11}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{11+3\sqrt{111}i}{2} x=\frac{-3\sqrt{111}i+11}{2}$$