11=1+20x-49x^2 lösen

$$11=1+20x-49 { x }^{ 2 }$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{-\sqrt{390}i+10}{49}\approx 0,204081633-0,403028932i$$

$$x=\frac{10+\sqrt{390}i}{49}\approx 0,204081633+0,403028932i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Seiten vertauschen, damit alle Terme mit Variablen auf der linken Seite sind.

$$1+20x-49x^{2}=11$$

Subtrahieren Sie 11 von beiden Seiten.

$$1+20x-49x^{2}-11=0$$

Subtrahieren Sie 11 von 1, um -10 zu erhalten.

$$-10+20x-49x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-49x^{2}+20x-10=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -49, b durch 20 und c durch -10, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-49\right)\left(-10\right)}}{2\left(-49\right)}$$

20 zum Quadrat.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-49\right)\left(-10\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -49.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+196\left(-10\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Multiplizieren Sie 196 mit -10.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-1960}}{2\left(-49\right)}$$

Addieren Sie 400 zu -1960.

$$x=\frac{-20±\sqrt{-1560}}{2\left(-49\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -1560.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{390}i}{2\left(-49\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -49.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{390}i}{-98}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-20±2\sqrt{390}i}{-98}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -20 zu 2i\sqrt{390}.

$$x=\frac{-20+2\sqrt{390}i}{-98}$$

Dividieren Sie -20+2i\sqrt{390} durch -98.

$$x=\frac{-\sqrt{390}i+10}{49}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-20±2\sqrt{390}i}{-98}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2i\sqrt{390} von -20.

$$x=\frac{-2\sqrt{390}i-20}{-98}$$

Dividieren Sie -20-2i\sqrt{390} durch -98.

$$x=\frac{10+\sqrt{390}i}{49}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-\sqrt{390}i+10}{49} x=\frac{10+\sqrt{390}i}{49}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Seiten vertauschen, damit alle Terme mit Variablen auf der linken Seite sind.

$$1+20x-49x^{2}=11$$

Subtrahieren Sie 1 von beiden Seiten.

$$20x-49x^{2}=11-1$$

Subtrahieren Sie 1 von 11, um 10 zu erhalten.

$$20x-49x^{2}=10$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-49x^{2}+20x=10$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -49.

$$\frac{-49x^{2}+20x}{-49}=\frac{10}{-49}$$

Division durch -49 macht die Multiplikation mit -49 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{20}{-49}x=\frac{10}{-49}$$

Dividieren Sie 20 durch -49.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x=\frac{10}{-49}$$

Dividieren Sie 10 durch -49.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x=-\frac{10}{49}$$

Dividieren Sie -\frac{20}{49}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{10}{49} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{10}{49} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x+\left(-\frac{10}{49}\right)^{2}=-\frac{10}{49}+\left(-\frac{10}{49}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{10}{49}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x+\frac{100}{2401}=-\frac{10}{49}+\frac{100}{2401}$$

Addieren Sie -\frac{10}{49} zu \frac{100}{2401}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x+\frac{100}{2401}=-\frac{390}{2401}$$

Faktor x^{2}-\frac{20}{49}x+\frac{100}{2401}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{10}{49}\right)^{2}=-\frac{390}{2401}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{49}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{390}{2401}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{10}{49}=\frac{\sqrt{390}i}{49} x-\frac{10}{49}=-\frac{\sqrt{390}i}{49}$$

Addieren Sie \frac{10}{49} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{10+\sqrt{390}i}{49} x=\frac{-\sqrt{390}i+10}{49}$$