11y^2+y=2 lösen

$$11 y ^ { 2 } + y = 2$$

Nach y auflösen

$$y=\frac{\sqrt{89}-1}{22}\approx 0,383362779$$

$$y=\frac{-\sqrt{89}-1}{22}\approx -0,47427187$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$11y^{2}+y=2$$

2 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$11y^{2}+y-2=2-2$$

Die Subtraktion von 2 von sich selbst ergibt 0.

$$11y^{2}+y-2=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 11, b durch 1 und c durch -2, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 11\left(-2\right)}}{2\times 11}$$

1 zum Quadrat.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 11\left(-2\right)}}{2\times 11}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 11.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-44\left(-2\right)}}{2\times 11}$$

Multiplizieren Sie -44 mit -2.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+88}}{2\times 11}$$

Addieren Sie 1 zu 88.

$$y=\frac{-1±\sqrt{89}}{2\times 11}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 11.

$$y=\frac{-1±\sqrt{89}}{22}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-1±\sqrt{89}}{22}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -1 zu \sqrt{89}.

$$y=\frac{\sqrt{89}-1}{22}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-1±\sqrt{89}}{22}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{89} von -1.

$$y=\frac{-\sqrt{89}-1}{22}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$y=\frac{\sqrt{89}-1}{22} y=\frac{-\sqrt{89}-1}{22}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$11y^{2}+y=2$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 11.

$$\frac{11y^{2}+y}{11}=\frac{2}{11}$$

Division durch 11 macht die Multiplikation mit 11 rückgängig.

$$y^{2}+\frac{1}{11}y=\frac{2}{11}$$

Dividieren Sie \frac{1}{11}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{22} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{22} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$y^{2}+\frac{1}{11}y+\left(\frac{1}{22}\right)^{2}=\frac{2}{11}+\left(\frac{1}{22}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{22}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$y^{2}+\frac{1}{11}y+\frac{1}{484}=\frac{2}{11}+\frac{1}{484}$$

Addieren Sie \frac{2}{11} zu \frac{1}{484}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$y^{2}+\frac{1}{11}y+\frac{1}{484}=\frac{89}{484}$$

Faktor y^{2}+\frac{1}{11}y+\frac{1}{484}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(y+\frac{1}{22}\right)^{2}=\frac{89}{484}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{22}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{89}{484}}$$

Vereinfachen.

$$y+\frac{1}{22}=\frac{\sqrt{89}}{22} y+\frac{1}{22}=-\frac{\sqrt{89}}{22}$$

\frac{1}{22} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$y=\frac{\sqrt{89}-1}{22} y=\frac{-\sqrt{89}-1}{22}$$