11y=3y^2-4 lösen

$$11 y = 3 y ^ { 2 } - 4$$

Nach y auflösen

$$y=4$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 3y^{2} von beiden Seiten.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Auf beiden Seiten 4 addieren.

$$11y-3y^{2}+4=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -3y^{2}+ay+by+4 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=11 ab=-3\times 4=-12$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -12 ergeben.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 11 ergibt.

$$a=12 b=-1$$

-3y^{2}+11y+4 als \left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right) umschreiben.

$$\left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right)$$

Klammern Sie 3y in -3y^{2}+12y aus.

$$3y\left(-y+4\right)-y+4$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term -y+4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(-y+4\right)\left(3y+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie -y+4=0 und 3y+1=0.

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Subtrahieren Sie 3y^{2} von beiden Seiten.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Auf beiden Seiten 4 addieren.

$$11y-3y^{2}+4=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -3, b durch 11 und c durch 4, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

11 zum Quadrat.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -3.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+12\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 12 mit 4.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-3\right)}$$

Addieren Sie 121 zu 48.

$$y=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-3\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 169.

$$y=\frac{-11±13}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -3.

$$y=\frac{-11±13}{-6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-11±13}{-6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -11 zu 13.

$$y=\frac{2}{-6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{2}{-6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{-11±13}{-6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 13 von -11.

$$y=-\frac{24}{-6}$$

Dividieren Sie -24 durch -6.

$$y=4$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$y=-\frac{1}{3} y=4$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Subtrahieren Sie 3y^{2} von beiden Seiten.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-3y^{2}+11y=-4$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -3.

$$\frac{-3y^{2}+11y}{-3}=-\frac{4}{-3}$$

Division durch -3 macht die Multiplikation mit -3 rückgängig.

$$y^{2}+\frac{11}{-3}y=-\frac{4}{-3}$$

Dividieren Sie 11 durch -3.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=-\frac{4}{-3}$$

Dividieren Sie -4 durch -3.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=\frac{4}{3}$$

Dividieren Sie -\frac{11}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{11}{6} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{11}{6} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{11}{6}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{4}{3}+\frac{121}{36}$$

Addieren Sie \frac{4}{3} zu \frac{121}{36}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{169}{36}$$

Faktor y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Vereinfachen.

$$y-\frac{11}{6}=\frac{13}{6} y-\frac{11}{6}=-\frac{13}{6}$$

Addieren Sie \frac{11}{6} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$