11x^2-20x-4 lösen

$$11 x ^ { 2 } - 20 x - 4$$

Faktorisieren

$$\left(x-2\right)\left(11x+2\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 11x^{2}+ax+bx-4 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-20 ab=11\left(-4\right)=-44$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -44 ergeben.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -20 ergibt.

$$a=-22 b=2$$

11x^{2}-20x-4 als \left(11x^{2}-22x\right)+\left(2x-4\right) umschreiben.

$$\left(11x^{2}-22x\right)+\left(2x-4\right)$$

Klammern Sie 11x in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$11x\left(x-2\right)+2\left(x-2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-2\right)\left(11x+2\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$11x^{2}-20x-4=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 11\left(-4\right)}}{2\times 11}$$

-20 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 11\left(-4\right)}}{2\times 11}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 11.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-44\left(-4\right)}}{2\times 11}$$

Multiplizieren Sie -44 mit -4.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400+176}}{2\times 11}$$

Addieren Sie 400 zu 176.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{576}}{2\times 11}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 576.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±24}{2\times 11}$$

Das Gegenteil von -20 ist 20.

$$x=\frac{20±24}{2\times 11}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 11.

$$x=\frac{20±24}{22}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{20±24}{22}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 20 zu 24.

$$x=\frac{44}{22}$$

Dividieren Sie 44 durch 22.

$$x=2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{20±24}{22}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 24 von 20.

$$x=-\frac{4}{22}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-4}{22} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{2}{11}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 2 und für x_{2} -\frac{2}{11} ein.

$$11x^{2}-20x-4=11\left(x-2\right)\left(x-\left(-\frac{2}{11}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$11x^{2}-20x-4=11\left(x-2\right)\left(x+\frac{2}{11}\right)$$

Addieren Sie \frac{2}{11} zu x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$11x^{2}-20x-4=11\left(x-2\right)\times \frac{11x+2}{11}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 11 in 11 und 11 aufheben.

$$11x^{2}-20x-4=\left(x-2\right)\left(11x+2\right)$$

Auswerten

$$\left(x-2\right)\left(11x+2\right)$$