11x^2-10x+13=0 lösen

$$11 x ^ { 2 } - 10 x + 13 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11}\approx 0,454545455+0,987525499i$$

$$x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}\approx 0,454545455-0,987525499i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$11x^{2}-10x+13=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 11, b durch -10 und c durch 13, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 11\times 13}}{2\times 11}$$

-10 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 11\times 13}}{2\times 11}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 11.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-44\times 13}}{2\times 11}$$

Multiplizieren Sie -44 mit 13.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-572}}{2\times 11}$$

Addieren Sie 100 zu -572.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-472}}{2\times 11}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -472.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{118}i}{2\times 11}$$

Das Gegenteil von -10 ist 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{2\times 11}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 11.

$$x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 10 zu 2i\sqrt{118}.

$$x=\frac{10+2\sqrt{118}i}{22}$$

Dividieren Sie 10+2i\sqrt{118} durch 22.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2i\sqrt{118} von 10.

$$x=\frac{-2\sqrt{118}i+10}{22}$$

Dividieren Sie 10-2i\sqrt{118} durch 22.

$$x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11} x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$11x^{2}-10x+13=0$$

13 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$11x^{2}-10x+13-13=-13$$

Die Subtraktion von 13 von sich selbst ergibt 0.

$$11x^{2}-10x=-13$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 11.

$$\frac{11x^{2}-10x}{11}=-\frac{13}{11}$$

Division durch 11 macht die Multiplikation mit 11 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x=-\frac{13}{11}$$

Dividieren Sie -\frac{10}{11}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{11} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{11} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\left(-\frac{5}{11}\right)^{2}=-\frac{13}{11}+\left(-\frac{5}{11}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{11}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}=-\frac{13}{11}+\frac{25}{121}$$

Addieren Sie -\frac{13}{11} zu \frac{25}{121}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}=-\frac{118}{121}$$

Faktor x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{5}{11}\right)^{2}=-\frac{118}{121}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{11}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{118}{121}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{5}{11}=\frac{\sqrt{118}i}{11} x-\frac{5}{11}=-\frac{\sqrt{118}i}{11}$$

Addieren Sie \frac{5}{11} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11} x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$