11x^2-9x+1>0 lösen

$$11 { x }^{ 2 } -9x+1 > 0$$

Für x lösen

$$x\in \left(-\infty,\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{37}+9}{22},\infty\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Um die Ungleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite. Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$11x^{2}-9x+1=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 11, b durch -9 und c durch 1.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 11\times 1}}{2\times 11}$$

Berechnungen ausführen.

$$x=\frac{9±\sqrt{37}}{22}$$

Lösen Sie die Gleichung x=\frac{9±\sqrt{37}}{22}, wenn ± Plus ist und wenn ± minus ist.

$$x=\frac{\sqrt{37}+9}{22} x=\frac{9-\sqrt{37}}{22}$$

Die Ungleichung umschreiben, indem Sie die erhaltenen Lösungen verwenden.

$$11\left(x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}\right)\left(x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)>0$$

Damit das Produkt positiv ist, müssen x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} und x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} beide negativ oder beide positiv sein. Erwägen Sie den Fall, wenn x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} und x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} beide negativ sind.

$$x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}<0 x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}<0$$

Die Lösung, die beide Ungleichungen erfüllt, lautet x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}.

$$x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}$$

Erwägen Sie den Fall, wenn x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} und x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} beide positiv sind.

$$x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}>0 x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}>0$$

Die Lösung, die beide Ungleichungen erfüllt, lautet x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}.

$$x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}$$

Die endgültige Lösung ist die Vereinigung der erhaltenen Lösungen.

$$x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}\text{; }x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}$$