11x^2+9x+4=0 lösen

$$11 { x }^{ 2 } +9x+4=0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{-9+\sqrt{95}i}{22}\approx -0,409090909+0,443036107i$$

$$x=\frac{-\sqrt{95}i-9}{22}\approx -0,409090909-0,443036107i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$11x^{2}+9x+4=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 11, b durch 9 und c durch 4, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 11\times 4}}{2\times 11}$$

9 zum Quadrat.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 11\times 4}}{2\times 11}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 11.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-44\times 4}}{2\times 11}$$

Multiplizieren Sie -44 mit 4.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-176}}{2\times 11}$$

Addieren Sie 81 zu -176.

$$x=\frac{-9±\sqrt{-95}}{2\times 11}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -95.

$$x=\frac{-9±\sqrt{95}i}{2\times 11}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 11.

$$x=\frac{-9±\sqrt{95}i}{22}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-9±\sqrt{95}i}{22}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -9 zu i\sqrt{95}.

$$x=\frac{-9+\sqrt{95}i}{22}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-9±\sqrt{95}i}{22}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{95} von -9.

$$x=\frac{-\sqrt{95}i-9}{22}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-9+\sqrt{95}i}{22} x=\frac{-\sqrt{95}i-9}{22}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$11x^{2}+9x+4=0$$

4 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$11x^{2}+9x+4-4=-4$$

Die Subtraktion von 4 von sich selbst ergibt 0.

$$11x^{2}+9x=-4$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 11.

$$\frac{11x^{2}+9x}{11}=-\frac{4}{11}$$

Division durch 11 macht die Multiplikation mit 11 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{9}{11}x=-\frac{4}{11}$$

Dividieren Sie \frac{9}{11}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{9}{22} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{9}{22} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{9}{11}x+\left(\frac{9}{22}\right)^{2}=-\frac{4}{11}+\left(\frac{9}{22}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{9}{22}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{9}{11}x+\frac{81}{484}=-\frac{4}{11}+\frac{81}{484}$$

Addieren Sie -\frac{4}{11} zu \frac{81}{484}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{9}{11}x+\frac{81}{484}=-\frac{95}{484}$$

Faktor x^{2}+\frac{9}{11}x+\frac{81}{484}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x+\frac{9}{22}\right)^{2}=-\frac{95}{484}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{22}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{95}{484}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{9}{22}=\frac{\sqrt{95}i}{22} x+\frac{9}{22}=-\frac{\sqrt{95}i}{22}$$

\frac{9}{22} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{-9+\sqrt{95}i}{22} x=\frac{-\sqrt{95}i-9}{22}$$