11x^2+4x-2=0 lösen

$$11 { x }^{ 2 } +4x-2=0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{26}-2}{11}\approx 0,281729047$$

$$x=\frac{-\sqrt{26}-2}{11}\approx -0,64536541$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$11x^{2}+4x-2=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 11, b durch 4 und c durch -2, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 11\left(-2\right)}}{2\times 11}$$

4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 11\left(-2\right)}}{2\times 11}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 11.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-44\left(-2\right)}}{2\times 11}$$

Multiplizieren Sie -44 mit -2.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+88}}{2\times 11}$$

Addieren Sie 16 zu 88.

$$x=\frac{-4±\sqrt{104}}{2\times 11}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 104.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{26}}{2\times 11}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 11.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{26}}{22}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±2\sqrt{26}}{22}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -4 zu 2\sqrt{26}.

$$x=\frac{2\sqrt{26}-4}{22}$$

Dividieren Sie -4+2\sqrt{26} durch 22.

$$x=\frac{\sqrt{26}-2}{11}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±2\sqrt{26}}{22}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{26} von -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{26}-4}{22}$$

Dividieren Sie -4-2\sqrt{26} durch 22.

$$x=\frac{-\sqrt{26}-2}{11}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{26}-2}{11} x=\frac{-\sqrt{26}-2}{11}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$11x^{2}+4x-2=0$$

Addieren Sie 2 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$11x^{2}+4x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Die Subtraktion von -2 von sich selbst ergibt 0.

$$11x^{2}+4x=-\left(-2\right)$$

Subtrahieren Sie -2 von 0.

$$11x^{2}+4x=2$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 11.

$$\frac{11x^{2}+4x}{11}=\frac{2}{11}$$

Division durch 11 macht die Multiplikation mit 11 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{4}{11}x=\frac{2}{11}$$

Dividieren Sie \frac{4}{11}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{2}{11} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{2}{11} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{4}{11}x+\left(\frac{2}{11}\right)^{2}=\frac{2}{11}+\left(\frac{2}{11}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{2}{11}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{4}{11}x+\frac{4}{121}=\frac{2}{11}+\frac{4}{121}$$

Addieren Sie \frac{2}{11} zu \frac{4}{121}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{4}{11}x+\frac{4}{121}=\frac{26}{121}$$

Faktor x^{2}+\frac{4}{11}x+\frac{4}{121}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{2}{11}\right)^{2}=\frac{26}{121}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{26}{121}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{2}{11}=\frac{\sqrt{26}}{11} x+\frac{2}{11}=-\frac{\sqrt{26}}{11}$$

\frac{2}{11} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{26}-2}{11} x=\frac{-\sqrt{26}-2}{11}$$