11x^2+140x-196= lösen

$$11 { x }^{ 2 } +140x-196=$$

Faktorisieren

$$\left(11x-14\right)\left(x+14\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 11x^{2}+ax+bx-196 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=140 ab=11\left(-196\right)=-2156$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -2156 ergeben.

$$-1,2156 -2,1078 -4,539 -7,308 -11,196 -14,154 -22,98 -28,77 -44,49$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+2156=2155 -2+1078=1076 -4+539=535 -7+308=301 -11+196=185 -14+154=140 -22+98=76 -28+77=49 -44+49=5$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 140 ergibt.

$$a=-14 b=154$$

11x^{2}+140x-196 als \left(11x^{2}-14x\right)+\left(154x-196\right) umschreiben.

$$\left(11x^{2}-14x\right)+\left(154x-196\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 14 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(11x-14\right)+14\left(11x-14\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 11x-14 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(11x-14\right)\left(x+14\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$11x^{2}+140x-196=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-140±\sqrt{140^{2}-4\times 11\left(-196\right)}}{2\times 11}$$

140 zum Quadrat.

$$x=\frac{-140±\sqrt{19600-4\times 11\left(-196\right)}}{2\times 11}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 11.

$$x=\frac{-140±\sqrt{19600-44\left(-196\right)}}{2\times 11}$$

Multiplizieren Sie -44 mit -196.

$$x=\frac{-140±\sqrt{19600+8624}}{2\times 11}$$

Addieren Sie 19600 zu 8624.

$$x=\frac{-140±\sqrt{28224}}{2\times 11}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 28224.

$$x=\frac{-140±168}{2\times 11}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 11.

$$x=\frac{-140±168}{22}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-140±168}{22}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -140 zu 168.

$$x=\frac{28}{22}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{28}{22} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{14}{11}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-140±168}{22}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 168 von -140.

$$x=-\frac{308}{22}$$

Dividieren Sie -308 durch 22.

$$x=-14$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{14}{11} und für x_{2} -14 ein.

$$11x^{2}+140x-196=11\left(x-\frac{14}{11}\right)\left(x-\left(-14\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$11x^{2}+140x-196=11\left(x-\frac{14}{11}\right)\left(x+14\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{14}{11} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$11x^{2}+140x-196=11\times \frac{11x-14}{11}\left(x+14\right)$$

Den größten gemeinsamen Faktor 11 in 11 und 11 aufheben.

$$11x^{2}+140x-196=\left(11x-14\right)\left(x+14\right)$$

Auswerten

$$\left(11x-14\right)\left(x+14\right)$$