1024x^2+768x+1280=0 lösen

$$1024 { x }^{ 2 } +768x+1280=0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{-3+\sqrt{71}i}{8}\approx -0,375+1,053268722i$$

$$x=\frac{-\sqrt{71}i-3}{8}\approx -0,375-1,053268722i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$1024x^{2}+768x+1280=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1024, b durch 768 und c durch 1280, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-768±\sqrt{768^{2}-4\times 1024\times 1280}}{2\times 1024}$$

768 zum Quadrat.

$$x=\frac{-768±\sqrt{589824-4\times 1024\times 1280}}{2\times 1024}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 1024.

$$x=\frac{-768±\sqrt{589824-4096\times 1280}}{2\times 1024}$$

Multiplizieren Sie -4096 mit 1280.

$$x=\frac{-768±\sqrt{589824-5242880}}{2\times 1024}$$

Addieren Sie 589824 zu -5242880.

$$x=\frac{-768±\sqrt{-4653056}}{2\times 1024}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -4653056.

$$x=\frac{-768±256\sqrt{71}i}{2\times 1024}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 1024.

$$x=\frac{-768±256\sqrt{71}i}{2048}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-768±256\sqrt{71}i}{2048}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -768 zu 256i\sqrt{71}.

$$x=\frac{-768+256\sqrt{71}i}{2048}$$

Dividieren Sie -768+256i\sqrt{71} durch 2048.

$$x=\frac{-3+\sqrt{71}i}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-768±256\sqrt{71}i}{2048}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 256i\sqrt{71} von -768.

$$x=\frac{-256\sqrt{71}i-768}{2048}$$

Dividieren Sie -768-256i\sqrt{71} durch 2048.

$$x=\frac{-\sqrt{71}i-3}{8}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-3+\sqrt{71}i}{8} x=\frac{-\sqrt{71}i-3}{8}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$1024x^{2}+768x+1280=0$$

1280 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$1024x^{2}+768x+1280-1280=-1280$$

Die Subtraktion von 1280 von sich selbst ergibt 0.

$$1024x^{2}+768x=-1280$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 1024.

$$\frac{1024x^{2}+768x}{1024}=-\frac{1280}{1024}$$

Division durch 1024 macht die Multiplikation mit 1024 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{768}{1024}x=-\frac{1280}{1024}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{768}{1024} um den niedrigsten Term, indem Sie 256 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x=-\frac{1280}{1024}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-1280}{1024} um den niedrigsten Term, indem Sie 256 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x=-\frac{5}{4}$$

Dividieren Sie \frac{3}{4}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{3}{8} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{3}{8} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=-\frac{5}{4}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{3}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=-\frac{5}{4}+\frac{9}{64}$$

Addieren Sie -\frac{5}{4} zu \frac{9}{64}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=-\frac{71}{64}$$

Faktor x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}=-\frac{71}{64}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{71}{64}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{3}{8}=\frac{\sqrt{71}i}{8} x+\frac{3}{8}=-\frac{\sqrt{71}i}{8}$$

\frac{3}{8} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{-3+\sqrt{71}i}{8} x=\frac{-\sqrt{71}i-3}{8}$$