1000x^2-590x-561=0 lösen

$$1000 { x }^{ 2 } -590x-561=0$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{51}{100}=-0,51$$

$$x = \frac{11}{10} = 1\frac{1}{10} = 1,1$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 1000x^{2}+ax+bx-561 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-590 ab=1000\left(-561\right)=-561000$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -561000 ergeben.

$$1,-561000 2,-280500 3,-187000 4,-140250 5,-112200 6,-93500 8,-70125 10,-56100 11,-51000 12,-46750 15,-37400 17,-33000 20,-28050 22,-25500 24,-23375 25,-22440 30,-18700 33,-17000 34,-16500 40,-14025 44,-12750 50,-11220 51,-11000 55,-10200 60,-9350 66,-8500 68,-8250 75,-7480 85,-6600 88,-6375 100,-5610 102,-5500 110,-5100 120,-4675 125,-4488 132,-4250 136,-4125 150,-3740 165,-3400 170,-3300 187,-3000 200,-2805 204,-2750 220,-2550 250,-2244 255,-2200 264,-2125 275,-2040 300,-1870 330,-1700 340,-1650 374,-1500 375,-1496 408,-1375 425,-1320 440,-1275 500,-1122 510,-1100 550,-1020 561,-1000 600,-935 660,-850 680,-825 748,-750$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-561000=-560999 2-280500=-280498 3-187000=-186997 4-140250=-140246 5-112200=-112195 6-93500=-93494 8-70125=-70117 10-56100=-56090 11-51000=-50989 12-46750=-46738 15-37400=-37385 17-33000=-32983 20-28050=-28030 22-25500=-25478 24-23375=-23351 25-22440=-22415 30-18700=-18670 33-17000=-16967 34-16500=-16466 40-14025=-13985 44-12750=-12706 50-11220=-11170 51-11000=-10949 55-10200=-10145 60-9350=-9290 66-8500=-8434 68-8250=-8182 75-7480=-7405 85-6600=-6515 88-6375=-6287 100-5610=-5510 102-5500=-5398 110-5100=-4990 120-4675=-4555 125-4488=-4363 132-4250=-4118 136-4125=-3989 150-3740=-3590 165-3400=-3235 170-3300=-3130 187-3000=-2813 200-2805=-2605 204-2750=-2546 220-2550=-2330 250-2244=-1994 255-2200=-1945 264-2125=-1861 275-2040=-1765 300-1870=-1570 330-1700=-1370 340-1650=-1310 374-1500=-1126 375-1496=-1121 408-1375=-967 425-1320=-895 440-1275=-835 500-1122=-622 510-1100=-590 550-1020=-470 561-1000=-439 600-935=-335 660-850=-190 680-825=-145 748-750=-2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -590 ergibt.

$$a=-1100 b=510$$

1000x^{2}-590x-561 als \left(1000x^{2}-1100x\right)+\left(510x-561\right) umschreiben.

$$\left(1000x^{2}-1100x\right)+\left(510x-561\right)$$

Klammern Sie 100x in der ersten und 51 in der zweiten Gruppe aus.

$$100x\left(10x-11\right)+51\left(10x-11\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 10x-11 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(10x-11\right)\left(100x+51\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 10x-11=0 und 100x+51=0.

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$1000x^{2}-590x-561=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1000, b durch -590 und c durch -561, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{\left(-590\right)^{2}-4\times 1000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

-590 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100-4\times 1000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 1000.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100-4000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

Multiplizieren Sie -4000 mit -561.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100+2244000}}{2\times 1000}$$

Addieren Sie 348100 zu 2244000.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{2592100}}{2\times 1000}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 2592100.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±1610}{2\times 1000}$$

Das Gegenteil von -590 ist 590.

$$x=\frac{590±1610}{2\times 1000}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 1000.

$$x=\frac{590±1610}{2000}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{590±1610}{2000}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 590 zu 1610.

$$x=\frac{2200}{2000}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{2200}{2000} um den niedrigsten Term, indem Sie 200 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{11}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{590±1610}{2000}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 1610 von 590.

$$x=-\frac{1020}{2000}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-1020}{2000} um den niedrigsten Term, indem Sie 20 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{51}{100}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$1000x^{2}-590x-561=0$$

Addieren Sie 561 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$1000x^{2}-590x-561-\left(-561\right)=-\left(-561\right)$$

Die Subtraktion von -561 von sich selbst ergibt 0.

$$1000x^{2}-590x=-\left(-561\right)$$

Subtrahieren Sie -561 von 0.

$$1000x^{2}-590x=561$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 1000.

$$\frac{1000x^{2}-590x}{1000}=\frac{561}{1000}$$

Division durch 1000 macht die Multiplikation mit 1000 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{590}{1000}\right)x=\frac{561}{1000}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-590}{1000} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x=\frac{561}{1000}$$

Dividieren Sie -\frac{59}{100}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{59}{200} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{59}{200} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\left(-\frac{59}{200}\right)^{2}=\frac{561}{1000}+\left(-\frac{59}{200}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{59}{200}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}=\frac{561}{1000}+\frac{3481}{40000}$$

Addieren Sie \frac{561}{1000} zu \frac{3481}{40000}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}=\frac{25921}{40000}$$

Faktor x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x-\frac{59}{200}\right)^{2}=\frac{25921}{40000}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{59}{200}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25921}{40000}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{59}{200}=\frac{161}{200} x-\frac{59}{200}=-\frac{161}{200}$$

Addieren Sie \frac{59}{200} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$