1000x^2+6125x+125=0 lösen

$$1000 { x }^{ 2 } +6125x+125=0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{2369}-49}{16}\approx -0,020476619$$

$$x=\frac{-\sqrt{2369}-49}{16}\approx -6,104523381$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$1000x^{2}+6125x+125=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1000, b durch 6125 und c durch 125, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6125±\sqrt{6125^{2}-4\times 1000\times 125}}{2\times 1000}$$

6125 zum Quadrat.

$$x=\frac{-6125±\sqrt{37515625-4\times 1000\times 125}}{2\times 1000}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 1000.

$$x=\frac{-6125±\sqrt{37515625-4000\times 125}}{2\times 1000}$$

Multiplizieren Sie -4000 mit 125.

$$x=\frac{-6125±\sqrt{37515625-500000}}{2\times 1000}$$

Addieren Sie 37515625 zu -500000.

$$x=\frac{-6125±\sqrt{37015625}}{2\times 1000}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 37015625.

$$x=\frac{-6125±125\sqrt{2369}}{2\times 1000}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 1000.

$$x=\frac{-6125±125\sqrt{2369}}{2000}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-6125±125\sqrt{2369}}{2000}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -6125 zu 125\sqrt{2369}.

$$x=\frac{125\sqrt{2369}-6125}{2000}$$

Dividieren Sie -6125+125\sqrt{2369} durch 2000.

$$x=\frac{\sqrt{2369}-49}{16}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-6125±125\sqrt{2369}}{2000}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 125\sqrt{2369} von -6125.

$$x=\frac{-125\sqrt{2369}-6125}{2000}$$

Dividieren Sie -6125-125\sqrt{2369} durch 2000.

$$x=\frac{-\sqrt{2369}-49}{16}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{2369}-49}{16} x=\frac{-\sqrt{2369}-49}{16}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$1000x^{2}+6125x+125=0$$

125 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$1000x^{2}+6125x+125-125=-125$$

Die Subtraktion von 125 von sich selbst ergibt 0.

$$1000x^{2}+6125x=-125$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 1000.

$$\frac{1000x^{2}+6125x}{1000}=-\frac{125}{1000}$$

Division durch 1000 macht die Multiplikation mit 1000 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{6125}{1000}x=-\frac{125}{1000}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{6125}{1000} um den niedrigsten Term, indem Sie 125 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{49}{8}x=-\frac{125}{1000}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-125}{1000} um den niedrigsten Term, indem Sie 125 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{49}{8}x=-\frac{1}{8}$$

Dividieren Sie \frac{49}{8}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{49}{16} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{49}{16} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{49}{8}x+\left(\frac{49}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{8}+\left(\frac{49}{16}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{49}{16}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{49}{8}x+\frac{2401}{256}=-\frac{1}{8}+\frac{2401}{256}$$

Addieren Sie -\frac{1}{8} zu \frac{2401}{256}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{49}{8}x+\frac{2401}{256}=\frac{2369}{256}$$

Faktor x^{2}+\frac{49}{8}x+\frac{2401}{256}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{49}{16}\right)^{2}=\frac{2369}{256}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{49}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2369}{256}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{49}{16}=\frac{\sqrt{2369}}{16} x+\frac{49}{16}=-\frac{\sqrt{2369}}{16}$$

\frac{49}{16} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{2369}-49}{16} x=\frac{-\sqrt{2369}-49}{16}$$