10z^2+21z+2 lösen

$$10 z ^ { 2 } + 21 z + 2$$

Faktorisieren

$$\left(z+2\right)\left(10z+1\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 10z^{2}+az+bz+2 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=21 ab=10\times 2=20$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 20 ergeben.

$$1,20 2,10 4,5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 21 ergibt.

$$a=1 b=20$$

10z^{2}+21z+2 als \left(10z^{2}+z\right)+\left(20z+2\right) umschreiben.

$$\left(10z^{2}+z\right)+\left(20z+2\right)$$

Klammern Sie z in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$z\left(10z+1\right)+2\left(10z+1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 10z+1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(10z+1\right)\left(z+2\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$10z^{2}+21z+2=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$z=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 10\times 2}}{2\times 10}$$

21 zum Quadrat.

$$z=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 10\times 2}}{2\times 10}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 10.

$$z=\frac{-21±\sqrt{441-40\times 2}}{2\times 10}$$

Multiplizieren Sie -40 mit 2.

$$z=\frac{-21±\sqrt{441-80}}{2\times 10}$$

Addieren Sie 441 zu -80.

$$z=\frac{-21±\sqrt{361}}{2\times 10}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 361.

$$z=\frac{-21±19}{2\times 10}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 10.

$$z=\frac{-21±19}{20}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung z=\frac{-21±19}{20}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -21 zu 19.

$$z=-\frac{2}{20}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-2}{20} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$z=-\frac{1}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung z=\frac{-21±19}{20}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 19 von -21.

$$z=-\frac{40}{20}$$

Dividieren Sie -40 durch 20.

$$z=-2$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} -\frac{1}{10} und für x_{2} -2 ein.

$$10z^{2}+21z+2=10\left(z-\left(-\frac{1}{10}\right)\right)\left(z-\left(-2\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$10z^{2}+21z+2=10\left(z+\frac{1}{10}\right)\left(z+2\right)$$

Addieren Sie \frac{1}{10} zu z, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$10z^{2}+21z+2=10\times \frac{10z+1}{10}\left(z+2\right)$$

Den größten gemeinsamen Faktor 10 in 10 und 10 aufheben.

$$10z^{2}+21z+2=\left(10z+1\right)\left(z+2\right)$$

Auswerten

$$\left(z+2\right)\left(10z+1\right)$$