10y^2-31y+15 lösen

$$10 y ^ { 2 } - 31 y + 15$$

Faktorisieren

$$\left(2y-5\right)\left(5y-3\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 10y^{2}+ay+by+15 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-31 ab=10\times 15=150$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 150 ergeben.

$$-1,-150 -2,-75 -3,-50 -5,-30 -6,-25 -10,-15$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-150=-151 -2-75=-77 -3-50=-53 -5-30=-35 -6-25=-31 -10-15=-25$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -31 ergibt.

$$a=-25 b=-6$$

10y^{2}-31y+15 als \left(10y^{2}-25y\right)+\left(-6y+15\right) umschreiben.

$$\left(10y^{2}-25y\right)+\left(-6y+15\right)$$

Klammern Sie 5y in der ersten und -3 in der zweiten Gruppe aus.

$$5y\left(2y-5\right)-3\left(2y-5\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2y-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2y-5\right)\left(5y-3\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$10y^{2}-31y+15=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 10\times 15}}{2\times 10}$$

-31 zum Quadrat.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 10\times 15}}{2\times 10}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 10.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-40\times 15}}{2\times 10}$$

Multiplizieren Sie -40 mit 15.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-600}}{2\times 10}$$

Addieren Sie 961 zu -600.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{361}}{2\times 10}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 361.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±19}{2\times 10}$$

Das Gegenteil von -31 ist 31.

$$y=\frac{31±19}{2\times 10}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 10.

$$y=\frac{31±19}{20}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{31±19}{20}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 31 zu 19.

$$y=\frac{50}{20}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{50}{20} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$y=\frac{5}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{31±19}{20}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 19 von 31.

$$y=\frac{12}{20}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{12}{20} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$y=\frac{3}{5}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{5}{2} und für x_{2} \frac{3}{5} ein.

$$10y^{2}-31y+15=10\left(y-\frac{5}{2}\right)\left(y-\frac{3}{5}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{5}{2} von y, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$10y^{2}-31y+15=10\times \frac{2y-5}{2}\left(y-\frac{3}{5}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{3}{5} von y, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$10y^{2}-31y+15=10\times \frac{2y-5}{2}\times \frac{5y-3}{5}$$

Multiplizieren Sie \frac{2y-5}{2} mit \frac{5y-3}{5}, indem Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch bis auf die kleinsten möglichen Terme.

$$10y^{2}-31y+15=10\times \frac{\left(2y-5\right)\left(5y-3\right)}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$10y^{2}-31y+15=10\times \frac{\left(2y-5\right)\left(5y-3\right)}{10}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 10 in 10 und 10 aufheben.

$$10y^{2}-31y+15=\left(2y-5\right)\left(5y-3\right)$$

Auswerten

$$\left(2y-5\right)\left(5y-3\right)$$