10x^2-35x+30 lösen

$$10 x ^ { 2 } - 35 x + 30$$

Faktorisieren

$$5\left(x-2\right)\left(2x-3\right)$$

Lösungsschritte

Klammern Sie 5 aus.

$$5\left(2x^{2}-7x+6\right)$$

Betrachten Sie 2x^{2}-7x+6. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 2x^{2}+ax+bx+6 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-7 ab=2\times 6=12$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 12 ergeben.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -7 ergibt.

$$a=-4 b=-3$$

2x^{2}-7x+6 als \left(2x^{2}-4x\right)+\left(-3x+6\right) umschreiben.

$$\left(2x^{2}-4x\right)+\left(-3x+6\right)$$

Klammern Sie 2x in der ersten und -3 in der zweiten Gruppe aus.

$$2x\left(x-2\right)-3\left(x-2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-2\right)\left(2x-3\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$5\left(x-2\right)\left(2x-3\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$10x^{2}-35x+30=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{\left(-35\right)^{2}-4\times 10\times 30}}{2\times 10}$$

-35 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-4\times 10\times 30}}{2\times 10}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 10.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-40\times 30}}{2\times 10}$$

Multiplizieren Sie -40 mit 30.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-1200}}{2\times 10}$$

Addieren Sie 1225 zu -1200.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{25}}{2\times 10}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 25.

$$x=\frac{-\left(-35\right)±5}{2\times 10}$$

Das Gegenteil von -35 ist 35.

$$x=\frac{35±5}{2\times 10}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 10.

$$x=\frac{35±5}{20}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{35±5}{20}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 35 zu 5.

$$x=\frac{40}{20}$$

Dividieren Sie 40 durch 20.

$$x=2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{35±5}{20}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 5 von 35.

$$x=\frac{30}{20}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{30}{20} um den niedrigsten Term, indem Sie 10 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{3}{2}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 2 und für x_{2} \frac{3}{2} ein.

$$10x^{2}-35x+30=10\left(x-2\right)\left(x-\frac{3}{2}\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{3}{2} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$10x^{2}-35x+30=10\left(x-2\right)\times \frac{2x-3}{2}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 2 in 10 und 2 aufheben.

$$10x^{2}-35x+30=5\left(x-2\right)\left(2x-3\right)$$

Auswerten

$$5\left(x-2\right)\left(2x-3\right)$$